Бесконечное произведение

Математическая концепция

В математике для последовательности комплексных чисел a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... бесконечное произведение

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

определяется как предел частичных произведений a ₁ a ₂ ... a _n при неограниченном возрастании n . Произведение считается сходящимся , когда предел существует и не равен нулю. В противном случае произведение считается расходящимся . Предел нуля рассматривается специально, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечных сумм . Некоторые источники допускают сходимость к 0, если имеется только конечное число нулевых множителей, а произведение ненулевых множителей не равно нулю, но для простоты мы не будем здесь этого допускать. Если произведение сходится, то предел последовательности a _n при неограниченном возрастании n должен быть равен 1, тогда как обратное в общем случае неверно.

Наиболее известными примерами бесконечных произведений, вероятно, являются некоторые формулы для числа π , такие как следующие два произведения, выведенные соответственно Виетом ( формула Виета , первое опубликованное бесконечное произведение в математике) и Джоном Уоллисом ( произведение Уоллиса ):

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}$

Критерии сходимости

Произведение положительных действительных чисел

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

сходится. Это позволяет перевести критерии сходимости для бесконечных сумм в критерии сходимости для бесконечных произведений. Тот же критерий применим к произведениям произвольных комплексных чисел (включая отрицательные действительные числа), если логарифм понимать как фиксированную ветвь логарифма _, которая удовлетворяет ln(1) = 0, при условии, что бесконечное произведение расходится, когда бесконечно много n выпадает _из области определения ln, тогда как конечное количество таких n можно игнорировать в сумме.

Если мы определим , то границы ${\displaystyle a_{n}=1+p_{n}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

показать, что бесконечное произведение a _n сходится, если сходится бесконечная сумма p _n . Это основано на теореме о монотонной сходимости . Мы можем показать обратное, заметив, что если , то ${\displaystyle p_{n}\to 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,}$

и по предельному сравнительному тесту следует, что две серии

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},}$

эквивалентны, что означает, что они либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Если ряд расходится к , то последовательность частичных произведений a _n сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение расходится к нулю . ^[1] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ${\displaystyle -\infty }$

Для случая, когда имеют произвольные знаки, сходимость суммы не гарантирует сходимости произведения . Например, если , то сходится, но расходится к нулю. Однако, если сходится, то произведение сходится абсолютно – то есть множители можно переставлять в любом порядке, не меняя ни сходимости, ни предельного значения бесконечного произведения. ^[2] Кроме того, если сходится, то сумма и произведение либо оба сходятся, либо оба расходятся. ^[3] ${\displaystyle p_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\displaystyle p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$

Представления продуктов функций

Один важный результат, касающийся бесконечных произведений, заключается в том, что каждая целая функция f ( z ) (то есть каждая функция, которая голоморфна на всей комплексной плоскости ) может быть разложена на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем случае, если f имеет корень порядка m в начале координат и имеет другие комплексные корни в u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (перечисленные с кратностями, равными их порядкам), то

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

где λ _n — неотрицательные целые числа, которые можно выбрать, чтобы произведение сходилось, и — некоторая целая функция (что означает, что член перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Приведенная выше факторизация не является уникальной, поскольку она зависит от выбора значений для λ _n . Однако для большинства функций будет существовать некоторое минимальное неотрицательное целое число p такое, что λ _n = p дает сходящееся произведение, называемое каноническим представлением произведения . Это p называется рангом канонического произведения. В случае, если p = 0, это принимает вид ${\displaystyle \phi (z)}$

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).}$

Это можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры , поскольку для многочленов произведение становится конечным и постоянным. ${\displaystyle \phi (z)}$

В дополнение к этим примерам, заслуживают особого внимания следующие представления:

Последнее из них не является представлением произведения того же рода, что обсуждалось выше, поскольку ζ не является целым. Скорее, указанное выше представление произведения ζ ( z ) сходится точно для Re( z ) > 1, где это аналитическая функция. С помощью методов аналитического продолжения эта функция может быть расширена единственным образом до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ ( z )) на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 1, где она имеет простой полюс .

Смотрите также

• Бесконечные произведения в тригонометрии
• Продолженная дробь
• Итерированная бинарная операция
• Бесконечное выражение
• Бесконечный ряд
• Теорема о пятиугольных числах

Ссылки

1. Джеффрис, Гарольд ; Джеффрис, Берта Свирлз (1999). Методы математической физики . Кембриджская математическая библиотека (3-е пересмотренное издание). Cambridge University Press . стр. 52. ISBN 1107393671.
2. Тренч, Уильям Ф. (1999). «Условная сходимость бесконечных произведений» (PDF) . American Mathematical Monthly . 106 (7): 646–651. doi :10.1080/00029890.1999.12005098 . Получено 10 декабря 2018 г. .
3. Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов. Лондон: Blackie & Son Ltd.

• Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Dover Publications . ISBN 978-0-486-66165-0.
• Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Бостон: McGraw Hill . ISBN 0-07-054234-1.
• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.

Внешние ссылки

• Бесконечные произведения от Wolfram Math World
• Коллекция бесконечных продуктов – I
• Коллекция бесконечных произведений – II