Ограничение полосы пропускания

Ограничение сигнала, содержащего только низкочастотные компоненты

Ограничение полосы пропускания относится к процессу, который снижает энергию сигнала до приемлемо низкого уровня за пределами желаемого диапазона частот .

Ограничение полосы пропускания является важной частью многих приложений в области обработки сигналов и связи. Примеры включают контроль помех между сигналами радиочастотной связи и управление искажениями, связанными с наложением спектров, связанными с выборкой для цифровой обработки сигналов .

Спектр модулирующего сигнала с ограниченной полосой частот как функция частоты

Сигналы с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой пропускания , строго говоря, представляет собой сигнал с нулевой энергией за пределами определенного диапазона частот. На практике сигнал считается ограниченным по полосе, если его энергия за пределами частотного диапазона достаточно мала, чтобы считаться незначительной в данном приложении.

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть случайным ( стохастическим ) или неслучайным ( детерминированным ).

В общем, для непрерывного представления сигнала в виде ряда Фурье требуется бесконечное количество членов , но если на основе этого сигнала можно вычислить конечное число членов ряда Фурье, этот сигнал считается ограниченным по полосе пропускания. В математической терминологии сигнал с ограниченной полосой пропускания имеет преобразование Фурье или спектральную плотность с ограниченной поддержкой .

Выборка сигналов с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть полностью восстановлен по его выборкам при условии, что частота дискретизации вдвое превышает полосу пропускания сигнала. Эта минимальная частота дискретизации называется частотой Найквиста, связанной с теоремой выборки Найквиста-Шеннона .

Сигналы реального мира не имеют строгого ограничения по полосе пропускания, и интересующие сигналы обычно имеют нежелательную энергию за пределами интересующей полосы. По этой причине функции дискретизации и функции цифровой обработки сигналов, которые изменяют частоту дискретизации, обычно требуют фильтров ограничения полосы для контроля количества искажений , вызванных наложением спектров . Фильтры, ограничивающие полосу пропускания, следует разрабатывать тщательно, чтобы управлять другими искажениями, поскольку они изменяют интересующий сигнал как по величине и фазе в частотной области , так и по его свойствам во временной области .

Примером простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой пропускания является синусоида формы. Если этот сигнал дискретизируется с такой скоростью , что у нас есть выборки для всех целых чисел , мы можем полностью восстановиться из этих выборок. Точно так же суммы синусоид с разными частотами и фазами также ограничены по полосе пропускания до самой высокой из своих частот. ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$ ${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$ ${\displaystyle x(nT),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x(t)}$

Сигнал, преобразование Фурье которого показано на рисунке, также имеет ограниченную полосу пропускания. Предположим, это сигнал, преобразование Фурье которого имеет величину, показанную на рисунке. Самая высокочастотная составляющая в В результате скорость Найквиста равна ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B.}$

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

или вдвое превышающую самую высокую частотную составляющую сигнала, как показано на рисунке. Согласно теореме выборки, можно полностью и точно восстановить, используя выборки. ${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$для всех целых чисел и ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

пока

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

Реконструкция сигнала по его выборкам может быть выполнена с использованием интерполяционной формулы Уиттекера-Шеннона .

Ограниченный по диапазону и ограниченный по времени

Сигнал с ограниченной полосой пропускания не может быть также ограничен по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь конечный носитель , если они не равны тождественному нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.

Доказательство. Предположим, что существует сигнал f(t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не равен тождественному нулю. Давайте произведем выборку быстрее, чем частота Найквиста , и вычислим соответствующее преобразование Фурье и преобразование Фурье в дискретном времени . Согласно свойствам DTFT, , где – частота, используемая для дискретизации. Если f ограничена полосой пропускания, она равна нулю вне определенного интервала, поэтому при достаточно большом значении она также будет равна нулю в некоторых интервалах, поскольку отдельные поддержки в сумме не будут перекрываться. Согласно определению DTFT, это сумма тригонометрических функций, и поскольку f(t) ограничена по времени, эта сумма будет конечной, поэтому фактически будет тригонометрическим полиномом . Все тригонометрические полиномы голоморфны на всей комплексной плоскости , и в комплексном анализе существует простая теорема, которая гласит, что все нули непостоянной голоморфной функции изолированы . Но это противоречит нашему более раннему выводу о наличии интервалов, полных нулей, поскольку точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственным сигналом, ограниченным по времени и полосе пропускания, является постоянный ноль. ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$ ${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Одним из важных последствий этого результата является то, что невозможно сгенерировать сигнал с действительно ограниченной полосой пропускания в любой реальной ситуации, поскольку для передачи сигнала с ограниченной полосой частот потребуется бесконечное время. Все реальные сигналы по необходимости ограничены по времени , а это означает, что они не могут быть ограничены по полосе пропускания. Тем не менее, концепция сигнала с ограниченной полосой пропускания является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Более того, можно аппроксимировать сигнал с ограниченной полосой пропускания до любого произвольного желаемого уровня точности.

Аналогичное соотношение между длительностью во времени и шириной полосы частот также формирует математическую основу принципа неопределенности в квантовой механике . В этом случае «ширина» функций временной и частотной областей оценивается с помощью меры, подобной дисперсии . Количественно принцип неопределенности накладывает следующее условие на любую реальную форму сигнала:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

где

${\displaystyle W_{B}}$- (соответственно выбранная) мера полосы пропускания (в герцах), и

${\displaystyle T_{D}}$— (соответственно выбранная) мера продолжительности времени (в секундах).

В частотно-временном анализе эти пределы известны как предел Габора и интерпретируются как предел одновременного частотно-временного разрешения, которого можно достичь.

Смотрите также

• Полосовой фильтр
• Полосовой фильтр

Рекомендации

• Уильям МакКи. Зиберт (1986). Цепи, сигналы и системы . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.