Поверхность канала

Поверхность, образованная сферами, центрированными по кривой.

поверхность канала: директриса представляет собой спираль с образующими ее сферами

поверхность трубы: директриса представляет собой спираль с образующими сферами

поверхность трубы: директриса представляет собой спираль

В геометрии и топологии канал или поверхность канала — это поверхность, образованная оболочкой семейства сфер , центры которых лежат на пространственной кривой , ее директрисе . Если радиусы образующих сфер постоянны, поверхность канала называется поверхностью трубы . Простые примеры:

• правый круговой цилиндр (поверхность трубы, направляющая – линия, ось цилиндра)
• тор (поверхность трубы, директриса – окружность),
• правый круговой конус (поверхность канала, директриса — линия (ось), радиусы сфер непостоянны),
• поверхность вращения (поверхность канала, директриса – линия),

Поверхности канала играют важную роль в начертательной геометрии, поскольку в случае ортогональной проекции его контурную кривую можно нарисовать в виде огибающей кругов.

• В технической области поверхности каналов можно использовать для плавного сглаживания поверхностей .

Конверт карандаша неявных поверхностей

Учитывая пучок неявных поверхностей

${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$,

две соседние поверхности и пересекаются по кривой, удовлетворяющей уравнениям ${\displaystyle \Phi _{c}}$ ${\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}$и . ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}$

За предел получаем . Последнее уравнение является причиной следующего определения. ${\displaystyle \Delta c\to 0}$ ${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$

• Пусть – 1-параметрический пучок регулярных неявных поверхностей ( по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемых). Поверхность, определяемая двумя уравнениями ${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}$

есть огибающая данного пучка поверхностей. ^[1]

Поверхность канала

Пусть – регулярная пространственная кривая и -функция с и . Последнее условие означает, что кривизна кривой меньше, чем у соответствующей сферы. Огибающая 1-параметрического карандаша сфер ${\displaystyle \Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}$

называется поверхностью канала и его директрисой . Если радиусы постоянны, это называется поверхностью трубы . ${\displaystyle \Gamma }$

Параметрическое представление поверхности канала

Состояние конверта

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$

поверхности канала выше для любого значения уравнения плоскости, ортогональной касательной к направляющей. Следовательно, конверт представляет собой набор кругов. Это свойство является ключевым для параметрического представления поверхности канала. Центр круга (для параметра ) находится на расстоянии (см. условие выше) от центра соответствующей сферы, а его радиус равен . Следовательно ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}$ ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}$

где векторы и касательный вектор образуют ортонормированный базис, является параметрическим представлением поверхности канала. ^[2] ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$

Получаем параметрическое представление поверхности трубы : ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

трубный узел

поверхность канала: циклид Дюпена

Примеры

а) На первом снимке показана поверхность канала с

1. спираль как директриса и ${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0,4]}$
2. функция радиуса . ${\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }$
3. Выбор следующий: ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}$.

б) Для второго изображения радиус постоянен: , т.е. поверхность канала является поверхностью трубы. ${\displaystyle r(u):=0.2}$

в) Для рисунка 3 поверхность трубы б) имеет параметр . ${\displaystyle u\in [0,7.5]}$

г) На рисунке 4 изображен узел трубы. Его директриса представляет собой кривую на торе.

д) На рисунке 5 изображена циклида Дюпена (поверхность канала).

Рекомендации

1. Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования, с. 115
2. Геометрия и алгоритмы компьютерного проектирования, с. 117

• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. п. 219. ИСБН 0-8284-1087-9.

Внешние ссылки

• М. Петернелл и Х. Поттманн: Вычисление рациональной параметризации поверхностей каналов