Поверхность трансляции (дифференциальная геометрия)

Поверхность, созданная переводами

Поверхность перевода: определение

В дифференциальной геометрии поверхность переноса — это поверхность , которая образуется посредством переносов:

• Для двух пространственных кривых с общей точкой кривая смещается так, что точка перемещается на . С помощью этой процедуры кривая порождает поверхность: поверхность переноса . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Если обе кривые лежат в общей плоскости, то поверхность переноса является плоской (частью плоскости). Этот случай обычно игнорируется.

эллипт. параболоид, парабол. цилиндр, гипербол. параболоид как поверхность переноса

поверхность трансляции: образующие кривые представляют собой дугу синусоиды и дугу параболы

Перемещение горизонтальной окружности по винтовой линии

Простые примеры :

1. Прямой круговой цилиндр : представляет собой окружность (или другое поперечное сечение) и является линией. ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$
2. Эллиптический параболоид может быть получен с помощью и ( обе кривые являются параболами ). ${\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}$ ${\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }$ ${\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }$
3. Гиперболический параболоид может быть получен с помощью ( параболы) и (открытой вниз параболы). ${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}$ ${\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}$

Поверхности трансляции популярны в начертательной геометрии ^{[1] [2]} и архитектуре, ^[3], потому что их можно легко моделировать.
В дифференциальной геометрии минимальные поверхности представлены поверхностями трансляции или как поверхности средней хорды (см. ниже). ^[4]

Поверхности трансляции, определенные здесь, не следует путать с поверхностями трансляции в сложной геометрии .

Параметрическое представление

Для двух пространственных кривых и с поверхностью переноса можно представить следующим образом: ^[5] ${\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }$ ${\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }$ ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$ ${\displaystyle \Phi }$

(ТС) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

и содержит начало координат. Очевидно, что это определение симметрично относительно кривых и . Поэтому обе кривые называются образующими (одна: образующая ). Любая точка поверхности содержится в сдвинутой копии и соответственно.. Касательная плоскость в порождается касательными векторами образующих в этой точке, если эти векторы линейно независимы . ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle X}$

Если предварительное условие не выполняется, поверхность, определяемая (TS), может не содержать начало координат и кривые . Но в любом случае поверхность содержит смещенные копии любой из кривых как параметрические кривые и соответственно. ${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$

Две кривые могут быть использованы для создания так называемой соответствующей поверхности средней хорды . Ее параметрическое представление: ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

(МСС) ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

Геликоид как поверхность трансляции и поверхность средней хорды

Геликоид как поверхность трансляции с идентичными образующими ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Геликоид как поверхность трансляции: любая параметрическая кривая представляет собой смещенную копию фиолетовой спирали.

Геликоид — частный случай обобщенного геликоида и линейчатой ​​поверхности . Он является примером минимальной поверхности и может быть представлен как поверхность переноса.

Геликоид с параметрическим представлением

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

имеет поворотный сдвиг (нем. Ganghöhe) . Вводя новые параметры ^[6], такие, что ${\displaystyle 2\pi k}$ ${\displaystyle \alpha ,\varphi }$

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

и положительное действительное число, получаем новое параметрическое представление ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

что является параметрическим представлением поверхности переноса с двумя одинаковыми (!) образующими

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$и

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}$

Общая точка, используемая для диаграммы, — . (Идентичные) образующие — это спирали с поворотным сдвигом , которые лежат на цилиндре с уравнением . Любая параметрическая кривая — это смещенная копия образующей (на диаграмме: фиолетовая) и содержится в прямом круговом цилиндре с радиусом , который содержит ось z . ${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$ ${\displaystyle k\pi \;,}$ ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle a}$

Новое параметрическое представление отображает только те точки геликоида, которые находятся внутри цилиндра с уравнением . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$

Геликоид как поверхность средней хорды двух одинаковых образующих (зеленая спираль).

Из нового параметрического представления следует, что геликоид также является поверхностью средней хорды:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

где

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$и

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

две одинаковые образующие.

На схеме: лежит на спирали и на (идентичной) спирали . Середина хорды — . ${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$

Преимущества поверхности перевода

Архитектура

Поверхность (например, крыша) может быть изготовлена ​​с использованием шаблона для кривой и нескольких идентичных шаблонов кривой . Шаблоны могут быть разработаны без знания математики. При размещении шаблонов необходимо соблюдать только правила поверхности трансляции. ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Начертательная геометрия

Для создания параллельной проекции поверхности переноса необходимо 1) построить проекции двух образующих, 2) сделать шаблон кривой и 3) нарисовать с помощью этого шаблона копии кривой, соблюдая правила построения поверхности переноса. Контур поверхности — это огибающая кривых, нарисованных шаблоном. Эта процедура работает для ортогональных и косоугольных проекций, но не для центральных проекций . ${\displaystyle c_{1}}$

Дифференциальная геометрия

Для поверхности переноса с параметрическим представлением частные производные являются простыми производными кривых. Следовательно, смешанные производные всегда и коэффициент второй фундаментальной формы также равен . Это существенное упрощение для демонстрации того, что (например) геликоид является минимальной поверхностью. ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0}$

Ссылки

1. Х. Браунер: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3709187788 , 9783709187784, стр. 236
2. Фриц Хоэнберг: Конструктивная геометрия в технике , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488 , 9783709181485, стр. 208 
3. Ганс Шобер: Transparente Schalen: Form, Topologie, Tragwerk , John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X , 9783433605981, S. 74 
4. Вильгельм Блашке, Курт Райдемайстер: Vorlesungen über Differentialgeometry und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometry , Springer-Verlag, 2013, ISBN 364247392X , 9783642473920, стр. 94 
5. Эрвин Круппа: Аналитическая и конструктивная дифференциальная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673 , 9783709178676, стр. 45 
6. JCC Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196 , 9783642656194, стр. 59 

• Ж. Дарбу: Leçons sur la theorie générale des Surfaces et ses application géométriques du Calcul infinitésimal , 1–4, Челси, переиздание, 972, стр. Разделы. 81–84, 218
• Георг Глезер: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik , Springer-Verlag, 2014, ISBN 364241852X , стр. 259 
• В. Хаак: Elementare Differentialgeometrice , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509 , стр. 140 
• К. Леопольд: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Kohlhammer Verlag , Штутгарт, 2005 г., ISBN 3-17-018489-X , стр. 122 
• DJ Struik: Лекции по классической дифференциальной геометрии , Дувр, переиздание, 1988, стр. 103, 109, 184

Внешние ссылки

• Энциклопедия математики