твист Дена

Положительное скручивание Дена, приложенное к цилиндру, изменяет зеленую кривую, как показано на рисунке.

В геометрической топологии , разделе математики , скручивание Дена — это определенный тип самомоморфизма поверхности (двумерного многообразия ).

Определение

Общее скручивание Дена на компактной поверхности, представленной n- угольником.

Предположим, что c — простая замкнутая кривая на замкнутой ориентируемой поверхности S. Пусть A — трубчатая окрестность c . Тогда A — кольцо , гомеоморфное декартову произведению окружности и единичного интервала I :

${\displaystyle c\subset A\cong S^{1}\times I.}$

Дайте координаты A ( s , t ), где s — комплексное число вида с и t ∈ [0, 1] . ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

Пусть f будет отображением из S в себя, которое является тождеством вне A , а внутри A мы имеем

${\displaystyle f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).}$

Тогда f является скручиванием Дена вокруг кривой c .

Скручивания Дена также можно определить на неориентируемой поверхности S , при условии , что мы начинаем с двухсторонней простой замкнутой кривой c на S.

Пример

Пример скручивания Дена на торе вдоль замкнутой кривой a , показанной синим цветом, где a — ребро фундаментального многоугольника, представляющего тор.

Автоморфизм на фундаментальной группе тора, индуцированный самомоморфизмом скручивания Дена вдоль одной из образующих тора.

Рассмотрим тор, представленный фундаментальным многоугольником с ребрами a и b.

${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$

Пусть замкнутая кривая — это линия вдоль ребра a, называемая . ${\displaystyle \gamma _{a}}$

Учитывая выбор гомеоморфизма склеивания на рисунке, трубчатая окрестность кривой будет выглядеть как полоса, связанная вокруг бублика. Эта окрестность гомеоморфна кольцу , скажем ${\displaystyle \gamma _{a}}$

${\displaystyle a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}}$

в комплексной плоскости.

При распространении на тор скручивающего отображения кольца посредством гомеоморфизмов кольца на открытый цилиндр в окрестности , получается скручивание Дена тора на . ${\displaystyle \left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$

${\displaystyle T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

Этот самогомеоморфизм действует на замкнутую кривую вдоль b . В трубчатой ​​окрестности он переводит кривую b один раз вдоль кривой  a .

Гомеоморфизм между топологическими пространствами индуцирует естественный изоморфизм между их фундаментальными группами . Поэтому имеет место автоморфизм

${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]}$

где [ x ] — гомотопические классы замкнутой кривой x в торе. Обратите внимание и , где — путь, пройденный вокруг b , затем a . ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([a])=[a]}$ ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]}$ ${\displaystyle b*a}$

Группа классов картографирования

Кривые 3 g − 1 из теоремы о скручивании, показанные здесь для g = 3.

Теорема Макса Дена гласит , что отображения такого вида порождают группу классов отображения изотопических классов сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов любого замкнутого, ориентированного рода - поверхности. Позже В. Б. Р. Ликориш переоткрыл этот результат с помощью более простого доказательства и, кроме того, показал, что скручивания Дена вдоль явных кривых порождают группу классов отображения (это называется каламбурным названием «теорема скручивания Ликориша»); это число позже было улучшено Стивеном П. Хамфрисом до , для , что, как он показал, было минимальным числом. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 3g-1}$ ${\displaystyle 2g+1}$ ${\displaystyle g>1}$

Ликориш также получил аналогичный результат для неориентируемых поверхностей, которые требуют не только скручиваний Дена, но и « Y-гомеоморфизмов ».

Смотрите также

• Координаты Фенхеля–Нильсена
• Фонарь отношение

Ссылки

• Эндрю Дж. Кассон , Стивен А. Блейлер, Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону , Cambridge University Press , 1988. ISBN  0-521-34985-0 .
• Стивен П. Хамфрис, «Генераторы для группы классов отображений», в: Топология многообразий низкой размерности ( Proc. Second Sussex Conf. , Chelwood Gate, 1977), стр. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer , Berlin, 1979. MR 0547453
• WBR Ликориш , «Представление ориентируемых комбинаторных 3-многообразий». Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR 0151948
• WBR Ликориш, "Конечный набор генераторов для гомотопической группы 2-многообразия", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. MR 0171269