Repdigit

Натуральное число с десятичным представлением, состоящим из повторяющихся экземпляров одной и той же цифры

В развлекательной математике репдигит или иногда монодигит ^[1] — это натуральное число, состоящее из повторяющихся экземпляров одной и той же цифры в позиционной системе счисления (часто неявно десятичной ). Слово является портманто от «повторяющийся» и «цифра». Примерами являются 11 , 666 , 4444 и 999999. Все репдигит являются палиндромными числами и кратны репунитам . Другие известные репдигит включают репунита и , в частности, простые числа Мерсенна (которые являются репдигитами, если представлены в двоичной форме).

Повторные цифры — это представление в базе числа, где — повторяющаяся цифра, а — количество повторений. Например, повторная цифра 77777 в базе 10 — это . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x{\frac {B^{y}-1}{B-1}}}$ ${\displaystyle 0<x<B}$ ${\displaystyle 1<y}$ ${\displaystyle 7\times {\frac {10^{5}-1}{10-1}}}$

Разновидность repdigits, называемая бразильскими числами , — это числа, которые можно записать как repdigit в некоторой базе, не допуская repdigit 11 и не допуская однозначных чисел (или все числа будут бразильскими). ​​Например, 27 — бразильское число, потому что 27 — это repdigit 33 в базе 8, в то время как 9 — не бразильское число, потому что его единственное представление repdigit — 11 ₈ , недопустимое в определении бразильских чисел. Представления вида 11 считаются тривиальными и недопустимы в определении бразильских чисел, потому что все натуральные числа n больше двух имеют представление 11 _{n − 1} . ^[2] Первые двадцать бразильских чисел — это

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (последовательность A125134 в OEIS ).

На некоторых веб-сайтах (включая имиджборды, такие как 4chan ) считается благоприятным событием, когда последовательно присвоенный идентификационный номер поста представляет собой повторную цифру, например, 22 222 222, что является одним из типов «GET» (другие включают круглые числа, такие как 34 000 000, или последовательные цифры, такие как 12 345 678). ^{[3] [4]}

История

Концепция репидиграммы изучалась под этим названием по крайней мере с 1974 года, ^[5] а ранее Бейлер (1966) называл их «моноцифровыми числами». ^[1] Бразильские числа были представлены позже, в 1994 году, на 9-й Ибероамериканской математической олимпиаде, которая проходила в Форталезе , Бразилия. Первая задача на этом соревновании, предложенная Мексикой, была следующей: ^[6]

Число n > 0 называется «бразильским», если существует целое число b такое, что 1 < b < n – 1 , для которого представление числа n в системе счисления с основанием b записывается со всеми равными цифрами. Докажите, что 1994 год — бразильский, а 1993 год — нет.

Праймы и репьюниты

Чтобы репьюнит был простым , он должен быть репьюнитом (т. е. повторяющаяся цифра равна 1) и иметь простое количество цифр в своей основе (за исключением тривиальных однозначных чисел), так как, например, репьюнит 77777 делится на 7 в любой основе > 7. В частности, поскольку бразильские репьюниты не допускают, чтобы количество цифр было ровно два, бразильские простые числа должны иметь нечетное простое количество цифр. ^[7] Наличие нечетного простого количества цифр недостаточно, чтобы гарантировать, что репьюнит является простым; например, 21 = 111 ₄ = 3 × 7 и 111 = 111 ₁₀ = 3 × 37 не являются простыми. В любой заданной основе b каждое репьюнитное простое число в этой основе, за исключением 11 _b (если оно является простым), является бразильским простым числом. Наименьшие бразильские простые числа

7 = 111 ₂ , 13 = 111 ₃ , 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , 43 = 111 ₆ , 73 = 111 ₈ , 127 = 1111111 ₂ , 157 = 111 ₁₂ , ... (последовательность A085104 в OEIS )

В то время как сумма обратных величин простых чисел является расходящимся рядом, сумма обратных величин бразильских простых чисел является сходящимся рядом, значение которого, называемое «бразильской константой простых чисел», немного больше 0,33 (последовательность A306759 в OEIS ). ^[8] Эта сходимость подразумевает, что бразильские простые числа образуют исчезающе малую долю всех простых чисел. Например, среди 3,7×10 ¹⁰ простых чисел, меньших 10 ¹² , только 8,8×10 ⁴ являются бразильскими.

Десятичные репьюнитные простые числа имеют вид для значений n, перечисленных в OEIS : A004023 . Было высказано предположение, что существует бесконечно много десятичных репьюнитных простых чисел. ^[9] Двоичные репьюнитные простые числа являются числами Мерсенна , а двоичные репьюнитные простые числа являются простыми числами Мерсенна . ${\displaystyle R_{n}={\tfrac {10^{n}-1}{9}}\ {\mbox{with }}n\geq 3}$

Неизвестно, существует ли бесконечно много бразильских простых чисел. Если гипотеза Бейтмана–Хорна верна, то для каждого простого числа цифр будет существовать бесконечно много репьюнитных простых чисел с таким количеством цифр (и, следовательно, бесконечно много бразильских простых чисел). Альтернативно, если существует бесконечно много десятичных репьюнитных простых чисел или бесконечно много простых чисел Мерсенна, то существует бесконечно много бразильских простых чисел. ^[10] Поскольку исчезающе малая доля простых чисел является бразильскими, существует бесконечно много небразильских простых чисел, образующих последовательность

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ... (последовательность A220627 в OEIS )

Если число Ферма является простым, то оно не является бразильским, но если оно является составным, то оно является бразильским. ^[11] Вопреки предыдущей гипотезе, ^[12] Реста, Маркус, Грэнтем и Грейвс нашли примеры простых чисел Софи Жермен , которые являются бразильскими, первым из них является 28792661 = 11111 ₇₃ . ^[13] ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$

Небразильские композиты и полномочия по репаюниту

Единственными положительными целыми числами, которые могут быть небразильскими, являются 1, 6, простые числа и квадраты простых чисел, поскольку каждое другое число является произведением двух множителей x и y , где 1 < x < y − 1, и может быть записано как xx в системе счисления с основанием y − 1. ^[14] Если квадрат простого числа p ² является бразильским, то простое число p должно удовлетворять диофантову уравнению

p ² = 1 + b + b ² + ... + b ^{q -1} , где p , q ≥ 3 простых чисел и b >= 2.

Норвежский математик Трюгве Нагелл доказал ^[15] , что это уравнение имеет только одно решение, когда p — простое число, соответствующее ( p , b , q ) = (11, 3, 5) . Следовательно, единственным квадратом простого числа, являющимся бразильским, является 11 ² = 121 = 11111 ₃ . Существует также еще один нетривиальный квадрат репьюнита, решение ( p , b , q ) = (20, 7, 4), соответствующее 20 ² = 400 = 1111 ₇ , но оно не является исключительным по отношению к классификации бразильских чисел, поскольку 20 не является простым числом.

Совершенные степени , которые являются репуитами с тремя или более цифрами в некотором основании b, описываются диофантовым уравнением Нагелла и Льюнггрена ^[16]

n ^t = 1 + b + b ² +...+ b ^{q -1,} где b, n, t > 1 и q > 2.

Ян Бюжо и Морис Миньотт предполагают, что только три совершенные степени являются бразильскими репунитами. Это 121, 343 и 400 (последовательность A208242 в OEIS ), два квадрата, перечисленных выше, и куб 343 = 7 ³ = 111 ₁₈ . ^[17]

к-Бразильские цифры

• Число способов, при которых число n является бразильским, находится в OEIS : A220136 . Следовательно, существуют числа, которые являются небразильскими, и числа, которые являются бразильскими; среди этих последних целых чисел некоторые являются бразильскими один раз, другие дважды бразильскими, или трижды, или больше. Число, которое является бразильским k раз, называется k-бразильским числом .
• Небразильские числа или 0 - бразильские числа состоят из 1 и 6, вместе с некоторыми простыми числами и некоторыми квадратами простых чисел. Последовательность небразильских чисел начинается с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25, ... (последовательность A220570 в OEIS ).
• Последовательность 1 -бразильских чисел состоит из других простых чисел, единственного квадрата простого числа, который является бразильским, 121, и составных чисел ≥ 8 , которые являются произведением только двух различных множителей, таких что n = a × b = aa _{b –1} , где 1 < a < b – 1 (последовательность A288783 в OEIS ).
• 2 -бразильские числа (последовательность A290015 в OEIS ) состоят из составных чисел и только двух простых чисел: 31 и 8191. Действительно, согласно гипотезе Гурмахти , эти два простых числа являются единственными известными решениями диофантова уравнения :
  ${\displaystyle p={\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$при x , y  > 1 и n , m  > 2:
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (31, 5, 2, 3, 5) что соответствует 31 = 11111 ₂ = 111 ₅ , и,
  • ( p ,  x ,  y ,  m ,  n ) = (8191, 90, 2, 3, 13), что соответствует 8191 = 11111111111111 ₂ = 111 ₉₀ , где 11111111111 — это число из тринадцати цифр 1.
• Для каждой последовательности k-бразильских чисел существует наименьший член. Последовательность с этими наименьшими k -бразильскими числами начинается с 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360, ... и находится в OEIS : A284758 . Например, 40 является наименьшим 4-бразильским числом с 40 = 1111 ₃ = 55 ₇ = 44 ₉ = 22 ₁₉ .
• В Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers [ ^18] Даниэль Линьон предлагает считать целое число высоко бразильским , если оно является положительным целым числом с большим количеством бразильских представлений, чем любое меньшее положительное целое число. Это определение происходит от определения высоко составных чисел, созданного Шринивасой Рамануджаном в 1915 году. Первые высоко бразильские числа — это 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, ..., и они точно находятся в OEIS : A329383 . От 360 до 321253732800 (может быть, больше) есть 80 последовательных высоко составных чисел , которые также являются высоко бразильскими числами, см. OEIS : A279930 .

Нумерология

Некоторые популярные медиа-издания опубликовали статьи, предполагающие, что числа репьюнита имеют нумерологическое значение, описывая их как «числа ангелов». ^{[19] [20] [21]}

Смотрите также

• Шесть девяток в числе пи

Ссылки

1. Beiler, Albert (1966). Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertainments (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 83. ISBN 978-0-486-21096-4.
2. Шотт, Бернард (март 2010 г.). «Бразильские имена» (PDF) . Квадратура (на французском языке) (76): 30–38. doi : 10.1051/quadrature/2010005.
3. "FAQ по GET". 4chan . Получено 14 марта 2007 г.
4. Палау, Адриа Сальвадор; Рузенбек, Джон (7 марта 2017 г.). «Как древнеегипетский бог подстегнул возвышение Трампа». The Conversation .
5. Тригг, Чарльз В. (1974). «Бесконечные последовательности палиндромных треугольных чисел» (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 12 (2): 209–212. doi :10.1080/00150517.1974.12430760. MR  0354535.
6. Пьер Борнштейн (2001). Гиперматематика . Париж: Вюиберт. п. 7, упражнение а35.
7. Шотт (2010), Теорема 2.
8. Шотт (2010), Теорема 4.
9. Крис Колдуэлл, «The Prime Glossary: ​​repunit» на The Prime Pages
10. Шотт (2010), разделы V.1 и V.2.
11. Шотт (2010), Предложение 3.
12. Шотт (2010), Гипотеза 1.
13. Грэнтем, Джон; Грейвс, Хестер (2019). «Бразильские простые числа, которые также являются простыми числами Софи Жермен». arXiv : 1903.04577 [math.NT].
14. Шотт (2010), Теорема 1.
15. Нагель, Трюгве (1921). «Sur l'équation indéterminée (x ⁿ -1)/(x-1) = y». Norsk Matematisk Forenings Skrifter . 3 (1): 17–18..
16. Юнггрен, Вильгельм (1943). «Нет настроек, которые необходимо соединить с формой (x ⁿ -1)/(x-1) = y ^q ». Norsk Matematisk Tidsskrift (на норвежском языке). 25 : 17–20..
17. Бюжо, Янн; Миньотт, Морис (2002). «Уравнение Нагеля-Люнггрена (xn-1)/(x-1) = yq». L'Enseignement Mathématique . 48 : 147–168..
18. Даниэль Линьон (2012). Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers . Париж: Эллипсы. п. 420.
19. "Число ангела 333 очень мощное в нумерологии — вот что оно означает". Glamour UK . 2023-06-29 . Получено 2023-08-28 .
20. "Все, что вам нужно знать о числах ангелов". Allure . 24 декабря 2021 г. . Получено 28 августа 2023 г. .
21. "Все, что вам нужно знать о числах ангелов". Cosmopolitan . 21 июля 2021 г. Получено 28 августа 2023 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Repdigit". MathWorld .
• Проблемы IX Ибероамериканской олимпиады по математике