Повторный интеграл

Вид интеграла функций многих переменных

В исчислении многих переменных повторный интеграл — это результат применения интегралов к функции более чем одной переменной (например, или ) таким образом, что каждый из интегралов рассматривает некоторые переменные как заданные константы . Например, функция , если считать заданным параметром , может быть проинтегрирована по , . Результат является функцией , поэтому можно рассматривать его интеграл. Если это сделано, результатом будет повторный интеграл ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \int f(x,y)\,dx}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Ключевым моментом в понятии повторных интегралов является то, что они в принципе отличаются от кратных интегралов.

${\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

В общем, хотя эти два понятия могут быть разными, теорема Фубини утверждает, что при определенных условиях они эквивалентны.

Альтернативное обозначение повторных интегралов

${\displaystyle \int dy\int dx\,f(x,y)}$

также используется.

В обозначениях, в которых используются круглые скобки, повторяющиеся интегралы вычисляются в соответствии с операционным порядком , указанным в скобках, начиная с самого внутреннего интеграла снаружи. В альтернативной записи , сначала вычисляется самый внутренний подынтегральный выражение. ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$

Примеры

Простое вычисление

Для повторного интеграла

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

интеграл

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

сначала вычисляется, а затем результат используется для вычисления интеграла по  y .

${\displaystyle \int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

В этом примере опущены константы интегрирования. После первого интегрирования по  x нам строго необходимо ввести «постоянную» функцию  y . То есть, если бы мы продифференцировали эту функцию по x , любые члены, содержащие только  y , исчезли бы, оставив исходное подынтегральное выражение. Аналогично для второго интеграла мы бы ввели «постоянную» функцию от  x , поскольку мы проинтегрировали по  y . Таким образом, неопределенное интегрирование не имеет особого смысла для функций нескольких переменных.

Порядок важен

Порядок вычисления интегралов важен для повторяющихся интегралов, особенно когда подынтегральная функция не является непрерывной в области интегрирования. Примеры, в которых разные порядки приводят к разным результатам, обычно относятся к сложным функциям, как показано ниже.

Определите последовательность такую, что . Пусть – последовательность непрерывных функций, не обращающихся в нуль на интервале и нулю в другом месте, такая, что для каждого . Определять ${\displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle a_{n}\to 1}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n},a_{n+1})}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).}$

В предыдущей сумме при каждом конкретном не более одного слагаемого отлично от нуля. Для этой функции бывает, что ^[1] ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

Смотрите также

• Теорема Фубини  - Условия переключения порядка интегрирования в исчислении

Рекомендации

1. Рудин В., Реальный и комплексный анализ , 1970.