Пространство Сигала–Баргмана

Гильбертово пространство квадратично-интегрируемых голоморфных функций n комплексных переменных

В математике пространство Сигала–Баргмана (в честь Ирвинга Сигала и Валентина Баргмана ), также известное как пространство Баргмана или пространство Баргмана–Фока , представляет собой пространство голоморфных функций F от n комплексных переменных, удовлетворяющих условию квадратичной интегрируемости:

${\displaystyle \|F\|^{2}:=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}|F(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})\,dz<\infty ,}$

где здесь dz обозначает 2 n -мерную меру Лебега на Это гильбертово пространство относительно соответствующего скалярного произведения: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle \langle F\mid G\rangle =\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}{\overline {F(z)}}G(z)\exp(-|z|^{2})\,dz.}$

Пространство было введено в математическую физику в литературе Баргманном и Сигалом в начале 1960-х годов; см. Баргманн (1961) и Сигал (1963). Основная информация о материале в этом разделе может быть найдена в Фолланде (1989) и Холле (2000). Сигал работал с самого начала в бесконечномерной обстановке; см. Баез, Сигал и Чжоу (1992) и раздел 10 Холла (2000) для получения дополнительной информации об этом аспекте предмета.

Характеристики

Основным свойством этого пространства является то, что поточечная оценка является непрерывной , то есть для каждой существует константа C такая, что ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n},}$

${\displaystyle |F(a)|<C\|F\|.}$

Тогда из теоремы Рисса о представлении следует , что существует единственный F _a в пространстве Сигала–Баргмана такой, что

${\displaystyle F(a)=\langle F_{a}\mid F\rangle .}$

Функция F _a может быть вычислена явно как

${\displaystyle F_{a}(z)=\exp({\overline {a}}\cdot z)}$

где, явно,

${\displaystyle {\overline {a}}\cdot z=\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{j}}}z_{j}.}$

Функция F _a называется когерентным состоянием (применяется в математической физике ) с параметром a , а функция

${\displaystyle \kappa (a,z):={\overline {F_{a}(z)}}}$

известно как воспроизводящее ядро ​​для пространства Сигала–Баргмана. Обратите внимание, что

${\displaystyle F(a)=\langle F_{a}\mid F\rangle =\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}\kappa (a,z)F(z)\exp(-|z|^{2})\,dz,}$

Это означает, что интегрирование по воспроизводящему ядру просто возвращает (т.е. воспроизводит) функцию F , при условии, конечно, что F является элементом пространства (и, в частности, является голоморфным).

Обратите внимание, что

${\displaystyle \|F_{a}\|^{2}=\langle F_{a}\mid F_{a}\rangle =F_{a}(a)=\exp(|a|^{2}).}$

Из неравенства Коши–Шварца следует , что элементы пространства Сигала–Баргмана удовлетворяют поточечным границам

${\displaystyle |F(a)|\leq \|F_{a}\|\|F\|=\exp(|a|^{2}/2)\|F\|.}$

Квантово-механическая интерпретация

Можно интерпретировать единичный вектор в пространстве Сигала–Баргмана как волновую функцию для квантовой частицы, движущейся в С этой точки зрения играет роль классического фазового пространства, тогда как является конфигурационным пространством. Ограничение, что F должно быть голоморфным, существенно для этой интерпретации; если бы F была произвольной квадратично интегрируемой функцией, она могла бы быть локализована в сколь угодно малой области фазового пространства, что противоречило бы принципу неопределенности. Поскольку, однако, F должна быть голоморфной, она удовлетворяет поточечным ограничениям, описанным выше, что дает предел того, насколько концентрированным может быть F в любой области фазового пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Если задан единичный вектор F в пространстве Сигала–Баргмана, то величина

${\displaystyle \pi ^{-n}|F(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})}$

может быть интерпретирована как своего рода плотность вероятности фазового пространства для частицы. Поскольку указанная выше величина явно неотрицательна, она не может совпадать с функцией Вигнера частицы, которая обычно имеет некоторые отрицательные значения. Фактически, указанная выше плотность совпадает с функцией Хусими частицы, которая получается из функции Вигнера путем размазывания гауссовой функцией. Эта связь будет уточнена ниже, после того как мы введем преобразование Сигала–Баргмана.

Канонические коммутационные соотношения

Можно ввести операторы уничтожения и операторы рождения в пространстве Сигала–Баргмана, установив ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle a_{j}^{*}}$

${\displaystyle a_{j}=\partial /\partial z_{j}}$

и

${\displaystyle a_{j}^{*}=z_{j}}$

Эти операторы удовлетворяют тем же соотношениям, что и обычные операторы создания и уничтожения, а именно, и коммутируют между собой и ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle a_{j}^{*}}$

${\displaystyle \left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\delta _{j,k}}$

Более того, сопряженный оператор относительно скалярного произведения Сигала–Баргмана равен (это следует из обозначений, но совсем не очевидно из формул для и !) Действительно, Баргманн был вынужден ввести особую форму скалярного произведения в пространстве Сигала–Баргмана именно так, чтобы операторы рождения и уничтожения были сопряженными друг другу. ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle a_{j}^{*}.}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle a_{j}^{*}}$

Теперь мы можем построить самосопряженные операторы «положения» и «импульса» A _j и B _j по формулам:

${\displaystyle A_{j}=(a_{j}+a_{j}^{*})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle B_{j}=(a_{j}-a_{j}^{*})/(i{\sqrt {2}})}$

Эти операторы удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям, и можно показать, что они действуют неприводимо в пространстве Сигала–Баргмана; см. раздел 14.4 Холла (2013).

Преобразование Сигала–Баргмана

Поскольку операторы A _j и B _j из предыдущего раздела удовлетворяют соотношениям Вейля и действуют неприводимо в пространстве Сигала–Баргмана, то применима теорема Стоуна–фон Неймана . Таким образом, существует унитарное отображение B из позиционного гильбертова пространства в пространство Сигала–Баргмана, которое переплетает эти операторы с обычными позиционными и импульсными операторами. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Карта B может быть вычислена явно как модифицированное двойное преобразование Вейерштрасса ,

${\displaystyle (Bf)(z)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp[-(z\cdot z-2{\sqrt {2}}z\cdot x+x\cdot x)/2]f(x)\,dx,}$

где dx — n -мерная мера Лебега на и где z — в См. Bargmann (1961) и раздел 14.4 Hall (2013). Можно также описать ( Bf )( z ) как внутреннее произведение f с соответствующим образом нормализованным когерентным состоянием с параметром z , где теперь мы выражаем когерентные состояния в позиционном представлении вместо пространства Сигала–Баргмана. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Теперь мы можем быть более точными относительно связи между пространством Сигала–Баргмана и функцией Хусими частицы. Если f — единичный вектор в, то мы можем сформировать плотность вероятности на как ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \pi ^{-n}|(Bf)(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})~.}$

Утверждается, что указанная выше плотность является функцией Хусими от f , которая может быть получена из функции Вигнера от f путем свертки с двойным гауссовым ( преобразование Вейерштрасса ). Этот факт легко проверяется с помощью формулы для Bf вместе со стандартной формулой для функции Хусими в терминах когерентных состояний.

Поскольку B унитарно, его эрмитово сопряженное является его обратным. Вспоминая, что мера на есть , мы получаем одну формулу обращения для B как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle e^{-|z|^{2}}\,dz}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {C} ^{n}}\exp[-({\overline {z}}\cdot {\overline {z}}-2{\sqrt {2}}{\overline {z}}\cdot x+x\cdot x)/2](Bf)(z)e^{-|z|^{2}}\,dz.}$

Однако, поскольку Bf является голоморфной функцией, может быть много интегралов, содержащих Bf , которые дают одно и то же значение. (Вспомните интегральную формулу Коши.) Таким образом, может быть много различных формул обращения для преобразования Сигала–Баргмана B.

Еще одна полезная формула обращения — ^[1]

${\displaystyle f(x)=C\exp(-|x|^{2}/2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}(Bf)(x+iy)\exp(-|y|^{2}/2)\,dy,}$

где

${\displaystyle C=\pi ^{-n/4}(2\pi )^{-n/2}.}$

Эту формулу инверсии можно понимать так, что позиционная "волновая функция" f может быть получена из фазово-пространственной "волновой функции" Bf путем интегрирования импульсных переменных. Это следует противопоставить функции Вигнера, где позиционная плотность вероятности получается из фазово-пространственной (квази-) плотности вероятности путем интегрирования импульсных переменных.

Обобщения

Существуют различные обобщения пространства и преобразования Сигала–Баргмана. В одном из них, ^{[2] [3],} роль конфигурационного пространства играет групповое многообразие компактной группы Ли , такой как SU( N ). Роль фазового пространства тогда играет комплексификация компактной группы Ли, такой как в случае SU( N ). Различные гауссианы, появляющиеся в обычном пространстве и преобразовании Сигала–Баргмана, заменяются тепловыми ядрами . Это обобщенное преобразование Сигала–Баргмана можно применить, например, к вращательным степеням свободы твердого тела, где конфигурационным пространством являются компактные группы Ли SO(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (N,\mathbb {C} )}$

Это обобщенное преобразование Сигала–Баргмана приводит к системе когерентных состояний , известных как когерентные состояния теплового ядра . Они широко использовались в литературе по петлевой квантовой гравитации .

Смотрите также

• Тета-представление
• Харди пространство

Ссылки

1. BC Hall, «Диапазон оператора тепла», в The Ubiquitous Heat Kernel , под редакцией Джея Йоргенсена и Линн Х. Уоллинг , AMS 2006, стр. 203–231
2. BC Hall, «Преобразование когерентного состояния Сигала–Баргмана для компактных групп Ли», Журнал функционального анализа 122 (1994), 103–151
3. BC Hall, «Обратное преобразование Сигала–Баргмана для компактных групп Ли», Журнал функционального анализа 143 (1997), 98–116

Источники

• Баргманн, В. (1961), «О гильбертовом пространстве аналитических функций и связанном с ним интегральном преобразовании», Сообщения по чистой и прикладной математике , 14 (3): 187, doi :10.1002/cpa.3160140303, hdl : 10338.dmlcz/143587
• Сигал, IE (1963), «Математические проблемы релятивистской физики», в Кац, М. (ред.), Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, т. II, Лекции по прикладной математике, Американское математическое общество, глава VI, LCCN  62-21480
• Фолланд, Г. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Princeton University Press , ISBN 978-0691085289
• Баез, Дж .; Сигал, И.Э.; Чжоу, З. (1992), Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля, Princeton University Press, ISBN 978-0691605128
• Холл, Б. К. (2000), «Голоморфные методы в анализе и математической физике», в Перес-Эстева, С.; Вильегас-Блас, К. (ред.), Первая летняя школа по анализу и математической физике: квантование, преобразование Сигала-Баргмана и полуклассический анализ , Contemporary Mathematics, т. 260, AMS , стр. 1–59, ISBN 978-0-8218-2115-2
• Холл, BC (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer Verlag , doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5, ISBN 978-1-4614-7115-8, S2CID  117837329