Апсемплинг

Метод цифровой передискретизации сигнала

В цифровой обработке сигналов , повышение частоты дискретизации , расширение и интерполяция являются терминами , связанными с процессом повторной выборки в многоскоростной цифровой системе обработки сигналов. Повышение частоты дискретизации может быть синонимом расширения или может описывать весь процесс расширения и фильтрации ( интерполяция ). ^{[1] [2] [3]} Когда повышение частоты дискретизации выполняется для последовательности выборок сигнала или другой непрерывной функции, оно создает приближение последовательности, которая была бы получена при дискретизации сигнала с более высокой скоростью (или плотностью , как в случае фотографии). Например, если компакт-диск аудио с частотой 44 100 выборок/секунду подвергается повышению частоты дискретизации в 5/4 раза, результирующая частота дискретизации составляет 55 125.

Рис. 1: Изображение одного скалярного произведения, дающего один выходной образец (зеленый), для случая L=4, n=9, j=3. Три концептуальных "вставленных нуля" изображены между каждой парой входных образцов. Исключение их из расчета отличает многоскоростной фильтр от односкоростного фильтра.

Повышение частоты дискретизации с целым коэффициентом

Увеличение скорости на целый коэффициент можно объяснить как двухэтапный процесс с эквивалентной реализацией, которая более эффективна : ^[4] ${\displaystyle L}$

1. Расширение : создание последовательности, включающей исходные образцы, разделенные нулями. Обозначение этой операции : ${\displaystyle x_{L}[n],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. Интерполяция : сглаживание разрывов с помощью фильтра нижних частот , который заменяет нули.

В этом приложении фильтр называется интерполяционным фильтром , и его конструкция обсуждается ниже. Когда интерполяционный фильтр является фильтром FIR , его эффективность может быть улучшена, поскольку нули не вносят никакого вклада в вычисления его скалярного произведения . Их легко исключить как из потока данных, так и из вычислений. Вычисление, выполняемое многоскоростным интерполирующим фильтром FIR для каждого выходного образца, является скалярным произведением : ^[a]

где последовательность представляет собой импульсную характеристику интерполяционного фильтра, а — наибольшее значение, для которого не равно нулю. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h[j+kL]}$

В случае   функция может быть спроектирована как полуполосный фильтр , где почти половина коэффициентов равна нулю и не должна быть включена в скалярные произведения. Коэффициенты импульсной характеристики, взятые с интервалами, образуют подпоследовательность, и существуют такие подпоследовательности (называемые фазами ), мультиплексированные вместе. Каждая из фаз импульсной характеристики фильтрует одни и те же последовательные значения потока данных и производит одно из последовательных выходных значений. В некоторых многопроцессорных архитектурах эти скалярные произведения выполняются одновременно, и в этом случае он называется полифазным фильтром. ${\displaystyle L=2,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$

Для полноты картины отметим, что возможная, но маловероятная реализация каждой фазы заключается в замене коэффициентов других фаз нулями в копии массива и обработке   последовательности в разы быстрее исходной скорости ввода. Тогда все выходы равны нулю. Требуемая последовательность — это сумма фаз, где члены каждой суммы тождественно равны нулю. Вычисление нулей между полезными выходами фазы и добавление их к сумме фактически является прореживанием. Это тот же результат, что и не вычисление их вообще. Эта эквивалентность известна как второе тождество Нобла . ^[5] Иногда она используется при выводе полифазного метода. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x_{L}[n]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L-1}$

Проектирование интерполяционного фильтра

Рис. 2: Первый треугольник первого графика представляет собой преобразование Фурье X ( f ) непрерывной функции x(t) . Весь первый график отображает дискретное преобразование Фурье последовательности x[n] , сформированной путем выборки непрерывной функции x(t) с низкой скоростью 1/T . Второй график отображает применение фильтра нижних частот с более высокой скоростью передачи данных, реализованное путем вставки нулевых выборок между исходными. А третий график представляет собой ДВПФ выходного сигнала фильтра. Нижняя таблица выражает максимальную полосу пропускания фильтра в различных единицах частоты, используемых инструментами проектирования фильтров.

Пусть будет преобразованием Фурье любой функции, выборки которой на некотором интервале равны последовательности . Тогда дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) последовательности является представлением ряда Фурье периодического суммирования ^[b] ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(f):}$

Когда имеет единицы секунды, имеет единицы герц (Гц) . Выборка времени быстрее (с интервалом ) увеличивает периодичность в ^[c] раз ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T/L}$ ${\displaystyle L:}$

что также является желаемым результатом интерполяции. Пример обоих этих распределений изображен на первом и третьем графиках Рис. 2. ^[6] 

Когда дополнительные отсчеты вставляются как нули, они уменьшают интервал отсчетов до Исключая нулевые члены ряда Фурье, это можно записать как: ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

что эквивалентно уравнению 2, независимо от значения Эта эквивалентность изображена на втором графике рис. 2. Единственное отличие состоит в том, что доступная цифровая полоса пропускания расширяется до , что увеличивает количество периодических спектральных изображений в пределах новой полосы пропускания. Некоторые авторы описывают это как новые частотные компоненты. ^[7]   Второй график также изображает фильтр нижних частот и в результате получается желаемое спектральное распределение (третий график). Полоса пропускания фильтра — это частота Найквиста исходной последовательности. ^[A]   В единицах Гц это значение равно   , но приложения для проектирования фильтров обычно требуют нормализованных единиц . (см. рис. 2, таблица) ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle L/T}$ ${\displaystyle L=3,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$

Повышение частоты дискретизации с дробным коэффициентом

Пусть L / M обозначает коэффициент повышения частоты дискретизации, где L  >  M.

1. Повышение частоты дискретизации в L раз
2. Уменьшение частоты дискретизации в М раз

Для повышения частоты дискретизации требуется фильтр нижних частот после увеличения скорости передачи данных, а для понижения частоты дискретизации требуется фильтр нижних частот перед прореживанием. Таким образом, обе операции могут быть выполнены одним фильтром с более низкой из двух частот среза. Для случая L  >  M срез интерполяционного фильтра,   циклов на промежуточный образец , является более низкой частотой. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$

Смотрите также

• Понижение частоты дискретизации
• Многоскоростная цифровая обработка сигналов
• Полуполосный фильтр
• Передискретизация
• Выборка (теория информации)
• Сигнал (теория информации)
• Преобразование данных
• Интерполяция
• Формула суммирования Пуассона

Примечания

1. Реализуемые фильтры нижних частот имеют переходную полосу , где отклик уменьшается от почти единицы до почти нуля. Таким образом, на практике частота среза располагается достаточно далеко ниже теоретической среза, чтобы переходная полоса фильтра содержалась ниже теоретической среза.

Ссылки на страницы

1. Crochiere и Rabiner "2.3". стр. 38. уравнение 2.80, где     также требуется     и   ${\displaystyle m\triangleq j+nL,}$ ${\displaystyle n={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor },}$ ${\displaystyle j=m-nL.}$
2. Харрис 2004. "2.2". стр. 23. рис. 2.12 (вверху).
3. Харрис 2004. "2.2". стр. 23. рис. 2.12 (внизу).

Ссылки

1. Оппенгейм, Алан В .; Шефер, Рональд В.; Бак, Джон Р. (1999). "4.6.2" . Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. 172. ISBN 0-13-754920-2.
2. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "2.3". Многоскоростная цифровая обработка сигналов. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. стр. 35–36. ISBN 0136051626.
3. Poularikas, Alexander D. (сентябрь 1998). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (1-е изд.). CRC Press. стр. 42–48. ISBN 0849385792.
4. Харрис, Фредерик Дж. (2004-05-24). "2.2". Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. стр. 20–21. ISBN 0131465112. Процесс повышения частоты дискретизации можно визуализировать как двухшаговую прогрессию. Процесс начинается с увеличения частоты дискретизации входного ряда x(n) путем повторной выборки [расширения]. Упакованный нулями временной ряд обрабатывается фильтром h(n). В действительности процессы увеличения частоты дискретизации и уменьшения полосы пропускания объединены в один процесс, называемый многоскоростным фильтром.
5. Стрэнг, Гилберт ; Нгуен, Труонг (1996-10-01). Вейвлеты и банки фильтров (2-е изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. стр. 101. ISBN 0961408871. Благородные тождества применяются к каждому полифазному компоненту... они не применяются ко всему фильтру.
6. Тан, Ли (2008-04-21). "Upsampling and downsampling". eetimes.com . EE Times . Получено 2024-06-27 . глава 12.1.2, рисунок 12-5B
7. Лайонс, Рик (2015-03-23). ​​«Почему заполнение нулей во временной области приводит к появлению множественных спектральных изображений в частотной области». dsprelated.com . Архивировано из оригинала 2023-09-30 . Получено 2024-01-31 .

Дальнейшее чтение

• «Домашняя страница цифрового аудиоресэмплинга».(обсуждается метод интерполяции с ограниченной полосой пропускания)
• «Пример Matlab использования полифазных фильтров для интерполяции».