В математике подалгебра — это подмножество алгебры , замкнутое относительно всех ее операций и переносящее индуцированные операции.
« Алгебра », когда речь идет о структуре, часто означает векторное пространство или модуль, оснащенный дополнительной билинейной операцией. Алгебры в универсальной алгебре гораздо более общие: они являются общим обобщением всех алгебраических структур . «Подалгебра» может относиться к любому случаю.
Подалгебра алгебры над коммутативным кольцом или полем — это векторное подпространство , замкнутое относительно умножения векторов. Ограничение умножения алгебры делает ее алгеброй над тем же кольцом или полем. Это понятие также применимо к большинству специализаций, где умножение должно удовлетворять дополнительным свойствам, например, к ассоциативным алгебрам или алгебрам Ли . Только для унитальных алгебр существует более сильное понятие унитальной подалгебры , для которого также требуется, чтобы единица подалгебры была единицей большей алгебры.
Матрицы 2×2 над вещественными числами R образуют четырехмерную унитальную алгебру M(2, R ) очевидным образом. Матрицы 2×2, у которых все элементы равны нулю, за исключением первого на диагонали, образуют подалгебру. Она также унитальна, но не является унитальной подалгеброй.
Элементом тождества M(2, R ) является тождественная матрица I , поэтому унитальные подалгебры содержат строку диагональных матриц { x I : x in R }. Для двумерных подалгебр рассмотрим
Когда p = 0, то E нильпотентна и подалгебра { x I + y E : x, y in R } является копией плоскости дуальных чисел . Когда p отрицательно, берем q = 1/√− p , так что ( q E) 2 = − I, и подалгебра { x I + y ( q E) : x,y in R } является копией плоскости комплексных чисел . Наконец, когда p положительно, берем q = 1/√ p , так что ( q E) 2 = I, и подалгебра { x I + y ( q E) : x,y in R } является копией плоскости расщепленных комплексных чисел .
В универсальной алгебре подалгебра алгебры A — это подмножество S алгебры A , которое также имеет структуру алгебры того же типа, когда алгебраические операции ограничены S. Если аксиомы некоторого вида алгебраической структуры описываются эквациональными законами , как это обычно бывает в универсальной алгебре, то единственное, что нужно проверить, — это то, что S замкнуто относительно операций.
Некоторые авторы рассматривают алгебры с частичными функциями . Существуют различные способы определения подалгебр для них. Другое обобщение алгебр — разрешить отношения. Эти более общие алгебры обычно называются структурами , и они изучаются в теории моделей и теоретической информатике . Для структур с отношениями существуют понятия слабых и индуцированных подструктур .
Например, стандартная сигнатура для групп в универсальной алгебре — (•, −1 , 1) . (Инверсия и единица необходимы для получения правильных понятий гомоморфизма и для того, чтобы групповые законы можно было выразить в виде уравнений.) Таким образом, подгруппа группы G — это подмножество S группы G, такое что:
