подалгебра Бореля

В математике, в частности в теории представлений , подалгебра Бореля алгебры Ли — это максимальная разрешимая подалгебра. ^[1] Понятие названо в честь Армана Бореля . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если алгебра Ли является алгеброй Ли комплексной группы Ли , то подалгебра Бореля является алгеброй Ли подгруппы Бореля . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Подалгебра Бореля, связанная с флагом

Пусть — алгебра Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над комплексными числами. Тогда для задания борелевской подалгебры требуется задать флаг V ; при заданном флаге подпространство является борелевской подалгеброй ^{[2] и наоборот, каждая} борелевская подалгебра имеет этот вид по теореме Ли . Следовательно, борелевские подалгебры классифицируются по многообразию флагов V . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}}$

Подалгебра Бореля относительно базы корневой системы

Пусть — комплексная полупростая алгебра Ли , подалгебра Картана и R — корневая система, связанная с ними. Выбор базы R дает понятие положительных корней. Тогда имеет место разложение , где . Тогда — подалгебра Бореля относительно приведенной выше установки. ^[3] (Она разрешима, поскольку производная алгебра нильпотентна. Она максимально разрешима по теореме Бореля–Морозова о сопряженности разрешимых подалгебр. ^[4] ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]}$

При наличии -модуля V примитивный элемент V — это (ненулевой) вектор, который (1) является весовым вектором для и который (2) аннулируется . Это то же самое, что и -весовой вектор (Доказательство: если и с и если — линия, то .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle e\in {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle [h,e]=2e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\cdot v}$ ${\displaystyle 0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v}$

Смотрите также

• подгруппа Бореля
• Параболическая алгебра Ли

Ссылки

1. Хамфрис, гл. XVI, § 3.
2. Серр 2000, Гл. I, § 6.
3. Серр 2000, гл. VI, § 3.
4. Серр 2000, Гл. VI, § 3. Теорема 5.

• Крисс, Нил; Гинзбург, Виктор (2009) [1997], Теория представлений и комплексная геометрия, Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Серр, Жан-Пьер (2000), Алгебры полупростых комплексов Ли [ Комплексные полупростые алгебры Ли ], перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, ISBN 978-3-540-67827-4.