Перемещение груза

Load that changes in time

Примеры движущегося груза.

Виды движущегося груза.

В структурной динамике движущаяся нагрузка со временем меняет точку приложения нагрузки. ^{[ нужна ссылка ]} Примеры включают транспортное средство, которое движется по мосту ^{[ нужна ссылка ]} и поезд, движущийся по рельсам. ^{[ нужна цитата ]}

Характеристики

В вычислительных моделях нагрузка обычно применяется как

• простая безмассовая сила, ^{[ нужна цитата ]}
• осциллятор, ^{[ нужна ссылка ]} или
• сила инерции (массовая и безмассовая сила). ^{[ нужна цитата ]}

Существуют многочисленные исторические обзоры проблемы движущейся нагрузки. ^{[1] [2]} Несколько публикаций посвящены аналогичным проблемам. ^[3]

Фундаментальная монография посвящена безмассовым нагрузкам. ^[4] Инерционная нагрузка в численных моделях описана в ^[5]

^{В [6]} описано неожиданное свойство дифференциальных уравнений, описывающих движение массовой частицы, движущейся по струне, балке Тимошенко и пластине Миндлина . Это разрыв траектории массы вблизи конца пролета (хорошо видимый в струне на скорости v =0,5 с ). ^{[ нужна цитата ]} Подвижная нагрузка значительно увеличивает перемещения. ^{[ нужна цитата ]} Критическая скорость, при которой рост перемещений максимальный, должна учитываться в инженерных проектах. ^{[ нужна цитата ]}

Конструкции, несущие движущиеся нагрузки, могут иметь конечные размеры или могут быть бесконечными и периодически опираться или располагаться на упругом фундаменте. ^{[ нужна цитата ]}

Рассмотрим просто опертую струну длиной l , площадью поперечного сечения A , плотностью массы ρ, растягивающей силой N , на которую действует постоянная сила P , движущаяся с постоянной скоростью v . Уравнение движения струны под действием движущей ^{силы имеет вид}

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}+\rho A{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\delta (x-vt)P\ .}$

Смещения любой точки свободно опертой струны задаются ^{синусоидальным рядом .}

${\displaystyle w(x,t)={\frac {2P}{\rho Al}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{\omega _{(j)}^{2}-\omega ^{2}}}\left(\sin(\omega t)-{\frac {\omega }{\omega _{(j)}}}\sin(\omega _{(j)}t)\right)\sin {\frac {j\pi x}{l}}\ ,}$

где

${\displaystyle \omega ={\frac {j\pi v}{l}}\ ,}$

и естественная круговая частота струны

${\displaystyle \omega _{(j)}^{2}={\frac {j^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}{\frac {N}{\rho A}}\ .}$

В случае инерционно движущейся нагрузки аналитические решения неизвестны. ^{[ нужна цитата ]} Уравнение движения увеличивается на член, связанный с инерцией движущейся нагрузки. Концентрированная масса m , сопровождаемая точечной силой P : ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}+\rho A{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\delta (x-vt)P-\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Сходимость решения для различного числа членов.

Последним членом из-за сложности вычислений инженеры часто пренебрегают. ^{[ нужна ссылка ]} Влияние нагрузки сводится к безмассовой нагрузке. ^{[ нужна цитата ]} Иногда осциллятор помещают в точку контакта. ^{[ нужна цитация ]} Такие подходы приемлемы только в низком диапазоне скоростей движущегося груза. ^{[ нужна цитата ]} В более высоких диапазонах как амплитуда, так и частота колебаний существенно различаются для обоих типов нагрузки. ^{[ нужна цитата ]}

Дифференциальное уравнение можно решить полуаналитическим способом только для простых задач. ^{[ нужна цитата ]} Ряд, определяющий решение, хорошо сходится, и на практике достаточно 2-3 членов. ^{[ нужна цитата ]} Более сложные проблемы могут быть решены методом конечных элементов ^{[ нужна цитата ]} или методом конечных элементов пространства-времени. ^{[ нужна цитата ]}

Прерывистость траектории массы хорошо видна и в пучке Тимошенко. ^{[ нужна цитата ]} Высокая жесткость на сдвиг подчеркивает это явление. ^{[ нужна цитата ]}

Колебания балки Тимошенко: красные линии – оси балки во времени, черная линия – траектория массы (w ₀ – статический прогиб).

Подход Ренодо против подхода Якушева

Подход Ренодо

${\displaystyle \delta (x-vt){\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left[m{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}\right]=\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$^{[ нужна цитата ]}

Якушевский подход

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left[\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}\right]=-\delta ^{\prime }(x-vt)mv{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}+\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$^{[ нужна цитата ]}

Немассовая струна под действием движущейся инерционной нагрузки

Рассмотрим безмассовую струну, которая является частным случаем задачи о движущейся инерционной нагрузке. Первым, кто решил проблему, был Смит. ^[7] Анализ будет следовать решению Фрибы. ^[4] Полагая ρ = 0, уравнение движения струны под движущейся массой можно представить в ^{следующем виде .}

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}=\delta (x-vt)P-\delta (x-vt)\,m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Мы налагаем одноопорные граничные условия и нулевые начальные условия. ^{[ нужна цитата ]} Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство свертки. ^{[ нужна цитата ]} Мы предполагаем безразмерные смещения струны y и безразмерное время τ : ^{[ нужна цитата ]}

Безмассовая струна и движущаяся масса – траектория массы.

${\displaystyle y(\tau )={\frac {w(vt,t)}{w_{st}}}\ ,\ \ \ \ \tau \ =\ {\frac {vt}{l}}\ ,}$

где wst _– статический прогиб в середине струны. Решение дается суммой

${\displaystyle y(\tau )={\frac {4\,\alpha }{\alpha \,-\,1}}\,\tau \,(\tau -1)\,\sum _{k=1}^{\infty }\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {(a+i-1)(b+i-1)}{c+i-1}}\;{\frac {\tau ^{k}}{k!}}\ ,}$

где α – безразмерные параметры:

${\displaystyle \alpha ={\frac {Nl}{2mv2}}\,>\,0\ \ \ \wedge \ \ \ \alpha \,\neq \,1\ .}$

Параметры a , b и c приведены ниже.

${\displaystyle a_{1,2}={\frac {3\,\pm \,{\sqrt {1+8\alpha }}}{2}}\ ,\ \ \ \ \ b_{1,2}={\frac {3\,\mp \,{\sqrt {1+8\alpha }}}{2}}\ ,\ \ \ \ \ c=2\ .}$

Безмассовая струна и движущаяся масса – траектория массы, α=1.

В случае α =1 рассматриваемая задача имеет ^{замкнутое решение :} ${\displaystyle y(\tau )=\left[{\frac {4}{3}}\tau (1-\tau )-{\frac {4}{3}}\tau \left(1+2\tau \ln(1-\tau )+2\ln(1-\tau )\right)\right]\ .}$

Рекомендации

1. Инглис, CE (1934). Математический трактат о вибрациях железнодорожных мостов . Издательство Кембриджского университета.
2. Шалленкамп, А. (1937). «Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten». Ingenieur-Archiv (на немецком языке). Стрингер Природа. 8 (3): 182–98. дои : 10.1007/BF02085995. S2CID  122387048.
3. А.В. Пестерев; Л.А. Бергман; К.А. Тан; ТЦ Цао; Б. Ян (2003). «Об асимптотике решения задачи о движущемся осцилляторе» (PDF) . Дж. Звук Виб . Том. 260. стр. 519–36. Архивировано из оригинала (PDF) 18 октября 2012 г. Проверено 9 ноября 2012 г.
4. Фриба, Л. (1999). Вибрации твердых тел и конструкций под действием движущихся нагрузок. Дом Томаса Телфорда. ISBN 9780727727411.
5. Баер, CI; Дыневич, Б. (2012). Численный анализ колебаний конструкций под действием движущейся инерционной нагрузки . Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике. Том. 65. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN 978-3-642-29547-8.
6. Б. Дыневич и К.И. Байер (2009). «Парадокс траектории движения частицы по струне». Арх. Прил. Мех . 79 (3): 213–23. Бибкод : 2009AAM....79..213D. дои : 10.1007/s00419-008-0222-9. S2CID  56291972.
7. CE Смит (1964). «Движение натянутой струны, несущей движущуюся частицу массы». Дж. Прил. Мех . Том. 31, нет. 1. С. 29–37.