Поддержка (теория меры)

В математике поддержка (иногда топологическая поддержка или спектр ) меры в измеримом топологическом пространстве — это точное представление о том, где в пространстве « живет» мера. Оно определяется как наибольшее ( замкнутое ) подмножество , для которого каждая открытая окрестность каждой точки множества имеет положительную меру. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Мотивация

(Неотрицательная) мера на измеримом пространстве действительно является функцией. Следовательно , в терминах обычного определения носителя носитель является подмножеством σ-алгебры ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ].}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma :}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu (A)\neq 0\}}},}$$

замыкание множества ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

1. Мера Лебега на действительной линии Кажется очевидным, что она «живет» на всей действительной линии. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. Мера Дирака в некоторой точке Опять же, интуиция подсказывает, что мера «живет» в этой точке и нигде больше. ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p,}$

В свете этих двух примеров мы можем отказаться от следующих потенциальных определений в пользу определения, приведенного в следующем разделе:

1. Мы могли бы удалить точки, в которых равно нулю, и взять в качестве носителя остаток. Это может сработать для меры Дирака, но определенно не сработает, поскольку, поскольку мера Лебега любого одноэлементного элемента равна нулю, это определение даст пустую поддержку. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}.}$ ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle \lambda :}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. По сравнению с понятием строгой положительности мер, мы могли бы принять в качестве носителя множество всех точек с окрестностью положительной меры:
   $${\displaystyle \{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}}$$
   (или закрытие этого). Это также слишком упрощенно: если принять за все точки, то это сделает поддержку каждой меры, кроме нулевой, всей ${\displaystyle N_{x}=X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle X.}$

Однако идея «локальной строгой позитивности» не так уж далека от работоспособного определения.

Определение

Пусть — топологическое пространство ; пусть обозначает борелевскую σ-алгебру, т . е. наименьшую сигма-алгебру , содержащую все открытые множества. Позвольте быть мерой. Тогда носитель (или спектр ) определяется как множество всех точек, в которых каждая открытая окрестность имеет положительную меру . : ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle B(T)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in T.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,B(T))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)\}.}$$

Некоторые авторы предпочитают считать замыканием приведенное выше множество. Однако в этом нет необходимости: см. «Свойства» ниже.

Эквивалентное определение носителя — это самый большой (относительно включения) такой, что каждое открытое множество, имеющее непустое пересечение с, имеет положительную меру, т. е. самый большой такой, что: ${\displaystyle C\in B(T)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle (\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$$

Подписанные и комплексные меры

Это определение можно распространить на знаковые и сложные меры. Предположим, что это знаковая мера . Используя теорему Хана о разложении , запишите ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [-\infty ,+\infty ]}$

$${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-},}$$

носитель ${\displaystyle \mu ^{\pm }}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\operatorname {supp} (\mu ^{+})\cup \operatorname {supp} (\mu ^{-}).}$$

Аналогично , если – комплексная мера , носитель определяется как объединение носителей ее вещественной и мнимой частей. ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

Характеристики

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$держит.

Мера на строго положительна тогда и только тогда, когда она имеет носитель. Если строго положительна и произвольна, то любая открытая окрестность, поскольку она является открытым множеством , имеет положительную меру; следовательно, и обратно, если тогда всякое непустое открытое множество (являющееся открытой окрестностью некоторой точки внутри него, которая также является точкой носителя) имеет положительную меру; следовательно, строго положительно. Носитель меры замкнут , так как его дополнение есть объединение открытых множеств меры. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu ),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0.}$

В общем случае поддержка ненулевой меры может быть пустой: см. примеры ниже. Однако, если это топологическое пространство Хаусдорфа и мера Радона , борелевское множество вне носителя имеет нулевую меру : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}$$

измеримой функции ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu )}$ ${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

$${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

Понятия носителя меры и спектра самосопряженного линейного оператора в гильбертовом пространстве тесно связаны. Действительно, если – регулярная борелевская мера на прямой , то оператор умножения самосопряжен в своей естественной области определения. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$

$${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$$

существенной областью^[1] ${\displaystyle x\mapsto x,}$ ${\displaystyle \mu .}$

Примеры

Мера Лебега

В случае меры Лебега на действительной прямой рассмотрим произвольную точку. Тогда любая открытая окрестность должна содержать некоторый открытый интервал для некоторого. Этот интервал имеет меру Лебега, поэтому , поскольку он был произвольным, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ ${\displaystyle 2\epsilon >0,}$ ${\displaystyle \lambda (N_{x})\geq 2\epsilon >0.}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda )=\mathbb {R} .}$

Мера Дирака

В случае меры Дирака рассмотрим два случая: ${\displaystyle \delta _{p},}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

1. если тогда каждая открытая окрестность содержит так ${\displaystyle x=p,}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(N_{x})=1>0.}$
2. с другой стороны, если тогда вокруг существует достаточно малый открытый шар, не содержащий столь ${\displaystyle x\neq p,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \delta _{p}(B)=0.}$

Мы заключаем, что это замыкание одноэлементного множества , которое является самим собой. ${\displaystyle \operatorname {supp} (\delta _{p})}$ ${\displaystyle \{p\},}$ ${\displaystyle \{p\}}$

Фактически, мера на действительной прямой является мерой Дирака для некоторой точки тогда и только тогда, когда носитель является одноэлементным множеством. Следовательно, мера Дирака на действительной прямой является единственной мерой с нулевой дисперсией (при условии, что мера имеет дисперсию при все). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \delta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{p\}.}$

Равномерное распределение

Рассмотрим меру на действительной линии, определяемую формулой ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mu (A):=\lambda (A\cap (0,1))}$$

равномерная мера ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=[0,1].}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle \mu }$

Нетривиальная мера, носитель которой пуст.

Пространство всех счетных ординалов с топологией, порожденной «открытыми интервалами», является локально компактным хаусдорфовым пространством . Мера («мера Дьедонне»), которая присваивает меру 1 борелевским множествам, содержащим неограниченное замкнутое подмножество, и присваивает 0 другим борелевским множествам, является борелевской вероятностной мерой, носитель которой пуст.

Нетривиальная мера, носитель которой имеет нулевую меру.

В компактном хаусдорфовом пространстве носитель ненулевой меры всегда непуст, но может иметь меру. Пример этого можно получить, добавив первый несчетный ординал к предыдущему примеру: носителем меры является единственная точка, которая имеет меру ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle 0.}$

Рекомендации

1. Математические методы квантовой механики с приложениями к операторам Шредингера

• Амбросио Л., Джильи Н. и Саваре Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Партасарати, КР (2005). Вероятностные меры в метрических пространствах . AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд. п. xii+276. ISBN 0-8218-3889-Х. МР 2169627 (см. главу 2, раздел 2.)
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы квантовой механики с приложениями к операторам Шрёдингера. АМС.(См. главу 3, раздел 2)