Подкатегория

Категория, объекты и морфизмы которой находятся внутри большей категории

В математике , в частности в теории категорий , подкатегория категории C — это категория S , объекты которой являются объектами в C , а морфизмы — морфизмами в C с теми же тождествами и составом морфизмов. Интуитивно подкатегория C — это категория, полученная из C путем «удаления» некоторых ее объектов и стрелок.

Формальное определение

Пусть C — категория. Подкатегория S категории C задается формулой

• подмножество объектов C , обозначаемое ob( S ),
• подмножество морфизмов C , обозначаемое hom( S ).

такой что

• для каждого X из ob( S ) тождественный морфизм id _X находится в hom( S ),
• для любого морфизма f  : X → Y в hom( S ), как источник X , так и цель Y находятся в ob( S ),
• для каждой пары морфизмов f и g в hom( S ) композит f o g находится в hom( S ) всякий раз, когда он определен.

Эти условия гарантируют, что S является категорией в своем собственном праве: ее набор объектов — это ob( S ), ее набор морфизмов — это hom( S ), а ее тождества и композиция такие же, как в C . Существует очевидный точный функтор I  : S → C , называемый функтором включения , который переводит объекты и морфизмы в самих себя.

Пусть S — подкатегория категории C. Мы говорим, что S — полная подкатегория категории C, если для каждой пары объектов X и Y из S ,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

Полная подкатегория — это та, которая включает все морфизмы в C между объектами S. Для любого набора объектов A в C существует уникальная полная подкатегория C , объекты которой являются объектами в A.

Примеры

• Категория конечных множеств образует полную подкатегорию категории множеств .
• Категория, объектами которой являются множества, а морфизмами — биекции, образует неполную подкатегорию категории множеств.
• Категория абелевых групп образует полную подкатегорию категории групп .
• Категория колец (морфизмы которой являются гомоморфизмами колец, сохраняющими единицу ) образует неполную подкатегорию категории rngs .
• Для поля K категория K - векторных пространств образует полную подкатегорию категории (левых или правых) K - модулей .

Вложения

Если задана подкатегория S категории C , то функтор включения I  : S → C является как точным функтором, так и инъективным на объектах. Он является полным тогда и только тогда, когда S является полной подкатегорией.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор . Такой функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма . Например, вложение Йонеды является вложением в этом смысле.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор, который инъективен на объектах. ^[1]

Другие авторы определяют функтор как вложение, если он точен и инъективен на объектах. Эквивалентно, F является вложением, если он инъективен на морфизмах. Тогда функтор F называется полным вложением, если он является полным функтором и вложением.

С определениями предыдущего абзаца, для любого (полного) вложения F  : B → C образ F является ( полной ) подкатегорией S категории C , и F индуцирует изоморфизм категорий между B и S. Если F не является инъективным на объектах , то образ F эквивалентен B.

В некоторых категориях можно также говорить о морфизмах категории, являющихся вложениями .

Типы подкатегорий

Подкатегория S из C называется изоморфизм-замкнутой или полной , если каждый изоморфизм k  : X → Y из C, такой что Y принадлежит S, также принадлежит S. Изоморфизм-замкнутая полная подкатегория называется строго полной .

Подкатегория C является широкой или lluf (термин, впервые предложенный Питером Фрейдом ^[2] ) , если она содержит все объекты C. ^[3] Широкая подкатегория обычно не является полной: единственной широкой полной подкатегорией категории является сама эта категория.

Подкатегория Серра — это непустая полная подкатегория S абелевой категории C, такая что для всех коротких точных последовательностей

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

в C , M принадлежит S тогда и только тогда, когда и . Это понятие возникает из C-теории Серра . ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M''}$

Смотрите также

• Подкатегория «Отражающий»
• Точная категория , полная подкатегория, закрытая расширениями.

Ссылки

1. Яап ван Остен. «Базовая теория категорий» (PDF) .
2. Фрейд, Питер (1991). «Алгебраически полные категории». Труды Международной конференции по теории категорий, Комо, Италия (CT 1990) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1488. Springer. pp. 95–104. doi :10.1007/BFb0084215. ISBN 978-3-540-54706-8.
3. Широкая подкатегория в n Lab