Подкольцо

В математике подкольцо R — это подмножество кольца , которое само по себе является кольцом , когда бинарные операции сложения и умножения на R ограничены этим подмножеством, и которое имеет ту же мультипликативную идентичность , что и R. (Обратите внимание, что подмножество кольца R не обязательно должно быть кольцом.) Для тех, кто определяет кольца, не требуя существования мультипликативной идентичности, подкольцо R — это просто подмножество R , которое является кольцом для операций R ( это подразумевает, что он содержит аддитивную идентичность R ). Последнее дает строго более слабое условие даже для колец, которые имеют мультипликативное тождество, так что, например, все идеалы становятся подкольцами (и они могут иметь мультипликативное тождество, отличное от тождества R ). Поскольку определение требует мультипликативного тождества (которое используется в этой статье), единственным идеалом R , который является подкольцом R , является само R.

Определение

Подкольцо кольца ( R , +, ∗, 0, 1) — это подмножество S кольца R , сохраняющее структуру кольца, т. е. кольцо ( S , +, ∗, 0, 1) такое, что S ⊆ R . Эквивалентно, это одновременно подгруппа ( R , +, 0) и подмоноид ( R , ∗, 1) .

Примеры

Кольцо и его частные не имеют подколец (с мультипликативной единицей), кроме полного кольца. ^[1]^{: 228} $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу, где n — целое неотрицательное число (см. Характеристику ). Целые числа соответствуют n = 0 в этом утверждении, поскольку изоморфно . ^[2]^{: 89–90} $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$

Тест подкольца

Тест на подкольцо — это теорема , которая утверждает, что для любого кольца R подмножество S кольца R является подкольцом тогда и только тогда, когда оно содержит мультипликативное тождество R и замкнуто относительно умножения и вычитания . ^[1]^{: 228}

Например, кольцо целых чисел Z является подкольцом поля действительных чисел , а также подкольцом кольца многочленов Z [ X ].

Центр

Центр кольца — это совокупность элементов кольца, коммутирующих со всеми остальными элементами кольца. То есть $x$ принадлежит центру кольца $R$ , если для любого $xy=yx$ $y\in x.$

Центр кольца $R$ является подкольцом кольца $R$ , а $R$ — ассоциативной алгеброй над своим центром.

Основное подкольцо

Пересечение всех подколец кольца $R$ представляет собой подкольцо, которое по аналогии с простыми полями можно назвать простым подкольцом кольца $R.$

Простое подкольцо кольца $R$ — это подкольцо центра кольца $R$ , которое изоморфно либо кольцу целых чисел , либо кольцу целых чисел по модулю n , где $n$ — наименьшее положительное целое число такое, что сумма $n$ копирует из $1$ равно $0$ . $\mathbb {Z}$

Удлинители колец

Если S является подкольцом кольца R , то эквивалентно R называется расширением кольца S , записываемым как R / S в обозначениях, аналогичных обозначениям расширений полей .