Линейное подпространство

В математике векторное подпространство

В математике , а точнее в линейной алгебре , линейное подпространство или векторное подпространство ^{[1] [примечание 1]} — это векторное пространство , которое является подмножеством некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно называют просто подпространством , когда контекст позволяет отличить его от других типов подпространств .

Определение

Если V — векторное пространство над полем K , а W — подмножество V , то W — линейное подпространство V , если при операциях V W — векторное пространство над K. Эквивалентно, непустое подмножество W — линейное подпространство V , если всякий раз, когда w ₁ , w ₂ — элементы W , а α , β — элементы K , то αw ₁ + βw ₂ принадлежит W . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Как следствие, все векторные пространства снабжены по крайней мере двумя (возможно, разными) линейными подпространствами: нулевым векторным пространством, состоящим только из нулевого вектора , и всем векторным пространством. Они называются тривиальными подпространствами векторного пространства. ^[7]

Примеры

Пример 1

В векторном пространстве V = R ³ ( действительном координатном пространстве над полем R действительных чисел ) возьмем W как множество всех векторов в V, последний компонент которых равен 0. Тогда W является подпространством V .

Доказательство:

1. Если u и v заданы в W , то их можно выразить как u = ( u ₁ , u ₂ , 0) и v = ( v ₁ , v ₂ , 0) . Тогда u + v = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0+0) = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0) . Таким образом, u + v также является элементом W .
2. Если u в W и скаляр c в R , то если u = ( u ₁ , u ₂ , 0) снова, то c u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0) . Таким образом, c u также является элементом W.

Пример 2

Пусть поле снова будет R , но теперь пусть векторное пространство V будет декартовой плоскостью R ² . Возьмем W как множество точек ( x , y ) R ² таких, что x = y . Тогда W является подпространством R ² .

Иллюстрированный пример II

Доказательство:

1. Пусть p = ( p ₁ , p ₂ ) и q = ( q ₁ , q ₂ ) — элементы W , то есть точки на плоскости, такие что p ₁ = p ₂ и q ₁ = q ₂ . Тогда p + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ ) ; поскольку p ₁ = p ₂ и q ₁ = q ₂ , то p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂ , поэтому p + q — элемент W .
2. Пусть p = ( p ₁ , p ₂ ) — элемент W , то есть точка на плоскости, такая что p ₁ = p ₂ , и пусть c — скаляр в R . Тогда c p = ( cp ₁ , cp ₂ ) ; поскольку p ₁ = p ₂ , то cp ₁ = cp ₂ , поэтому c p — элемент W .

В общем случае любое подмножество действительного координатного пространства R ⁿ , определяемое однородной системой линейных уравнений , даст подпространство. (Уравнение в примере I было z  = 0, а уравнение в примере II было x  =  y .)

Пример 3

Снова возьмем поле R , но теперь пусть векторное пространство V будет множеством R ^R всех функций из R в R. Пусть C( R ) будет подмножеством, состоящим из непрерывных функций . Тогда C( R ) является подпространством R ^R .

Доказательство:

1. Из исчисления мы знаем, что 0 ∈ C( R ) ⊂ R ^R .
2. Из исчисления мы знаем, что сумма непрерывных функций непрерывна.
3. Опять же, из исчисления мы знаем, что произведение непрерывной функции и числа непрерывно.

Пример 4

Сохраним то же поле и векторное пространство, что и раньше, но теперь рассмотрим множество Diff( R ) всех дифференцируемых функций . Тот же тип аргумента, что и раньше, показывает, что это тоже подпространство.

Примеры, расширяющие эти темы, широко распространены в функциональном анализе .

Свойства подпространств

Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты и замкнуты относительно сумм и скалярных множителей. ^[8] Эквивалентно, подпространства могут быть охарактеризованы свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть, непустое множество W является подпространством тогда и только тогда, когда каждая линейная комбинация конечного числа элементов W также принадлежит W . Эквивалентное определение гласит, что также эквивалентно рассматривать линейные комбинации двух элементов одновременно.

В топологическом векторном пространстве X подпространство W не обязательно должно быть топологически замкнутым , но конечномерное подпространство всегда замкнуто. ^[9] То же самое верно для подпространств конечной коразмерности (т. е. подпространств, определяемых конечным числом непрерывных линейных функционалов ).

Описания

Описания подпространств включают множество решений однородной системы линейных уравнений , подмножество евклидова пространства, описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений , промежуток набора векторов и нулевое пространство , пространство столбцов и пространство строк матрицы . Геометрически (особенно над полем действительных чисел и его подполями) подпространство представляет собой плоскость в n -пространстве , которая проходит через начало координат .

Естественным описанием 1-подпространства является скалярное умножение одного ненулевого вектора v на все возможные скалярные значения. 1-подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор может быть получен из другого с помощью скалярного умножения:

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}}$

Эта идея обобщается для более высоких размерностей с линейной оболочкой , но критерии равенства k - пространств , заданных наборами k -векторов, не столь просты.

Двойственное описание обеспечивается линейными функционалами (обычно реализуемыми в виде линейных уравнений). Один ненулевой линейный функционал F определяет свое ядерное подпространство F = 0 коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1 ,  определяемые двумя линейными функционалами, равны тогда и только тогда, когда один функционал может быть получен из другого скалярным умножением (в двойственном пространстве ):

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}}$

Он обобщен для более высоких коразмерностей с системой уравнений . Следующие два подраздела представят это последнее описание в деталях, а оставшиеся четыре подраздела дополнительно описывают идею линейной проекции.

Системы линейных уравнений

Множество решений любой однородной системы линейных уравнений с n переменными представляет собой подпространство в координатном пространстве K ⁿ : $${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$$

Например, множество всех векторов ( x , y , z ) (над действительными или рациональными числами ), удовлетворяющих уравнениям, является одномерным подпространством. В более общем смысле, это означает, что задано множество из n независимых функций, размерность подпространства в K ^k будет размерностью нулевого множества A , составной матрицы из n функций. $${\displaystyle x+3y+2z=0\quad {\text{and}}\quad 2x-4y+5z=0}$$

Нулевое пространство матрицы

В конечномерном пространстве однородную систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

Множество решений этого уравнения известно как нулевое пространство матрицы. Например, подпространство, описанное выше, является нулевым пространством матрицы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

Каждое подпространство K ⁿ можно описать как нулевое пространство некоторой матрицы (подробнее см. в разделе Алгоритмы ниже).

Линейные параметрические уравнения

Подмножество K ^{n ,} описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений, представляет собой подпространство:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

Например, множество всех векторов ( x ,  y ,  z ), параметризованных уравнениями

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

является двумерным подпространством K ³ , если K является числовым полем (таким как действительные или рациональные числа). ^{[примечание 2]}

Диапазон векторов

В линейной алгебре система параметрических уравнений может быть записана в виде одного векторного уравнения:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

Выражение справа называется линейной комбинацией векторов (2, 5, −1) и (3, −4, 2). Говорят, что эти два вектора охватывают результирующее подпространство.

В общем случае линейной комбинацией векторов v ₁ ,  v ₂ , ... ,  v _k называется любой вектор вида

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

Множество всех возможных линейных комбинаций называется размахом :

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

Если векторы v ₁ , ... ,  v _k имеют n компонент, то их размах является подпространством K ⁿ . Геометрически размах является плоскостью, проходящей через начало координат в n -мерном пространстве, определяемом точками v ₁ , ... ,  v _k .

Пример

Плоскость xz в R ³ может быть параметризована уравнениями

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

Как подпространство, плоскость xz охватывается векторами (1, 0, 0) и (0, 0, 1). Каждый вектор в плоскости xz может быть записан как линейная комбинация этих двух:

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

Геометрически это соответствует тому факту, что до любой точки на плоскости xz можно добраться из начала координат, сначала переместившись на некоторое расстояние в направлении (1, 0, 0), а затем переместившись на некоторое расстояние в направлении (0, 0, 1).

Пространство столбцов и строк

Систему линейных параметрических уравнений в конечномерном пространстве можно также записать в виде одного матричного уравнения:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

В этом случае подпространство состоит из всех возможных значений вектора x . В линейной алгебре это подпространство известно как пространство столбцов (или образ ) матрицы A. Это в точности подпространство K ^{n ,} охватываемое векторами столбцов A .

Пространство строк матрицы — это подпространство, охватываемое ее векторами строк. Пространство строк интересно тем, что оно является ортогональным дополнением нулевого пространства (см. ниже).

Независимость, основа и измерение

Векторы u и v являются базисом этого двумерного подпространства R ³ .

В общем случае подпространство K ^{n ,} определяемое k параметрами (или охватываемое k векторами), имеет размерность k . Однако из этого правила есть исключения. Например, подпространство K ^{3 ,} охватываемое тремя векторами (1, 0, 0), (0, 0, 1) и (2, 0, 3), представляет собой просто плоскость xz , причем каждая точка на плоскости описывается бесконечным числом различных значений t ₁ , t ₂ , t ₃ .

В общем случае векторы v ₁ , ... ,  v _k называются линейно независимыми , если

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

для ( t ₁ ,  t ₂ , ... ,  t _k ) ≠ ( u ₁ ,  u ₂ , ... ,  u _k ). ^{[примечание 3]} Если v ₁ , ..., v _k линейно независимы, то координаты t ₁ , ..., t _k для вектора в диапазоне определяются однозначно.

Базис для подпространства S — это набор линейно независимых векторов, охватывающий S. Количество элементов в базисе всегда равно геометрической размерности подпространства. Любой охватывающий набор для подпространства может быть преобразован в базис путем удаления избыточных векторов (см. § Алгоритмы ниже для получения дополнительной информации) .

Пример

Пусть S — подпространство R ^{4 ,} определяемое уравнениями

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

Тогда векторы (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1) являются базисом для S. В частности, каждый вектор, удовлетворяющий приведенным выше уравнениям, может быть записан однозначно как линейная комбинация двух базисных векторов:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

Подпространство S двумерно. Геометрически это плоскость в R4 ^, проходящая через точки (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1).

Операции и отношения на подпространствах

Включение

Бинарное отношение теоретико -множественного включения задает частичный порядок на множестве всех подпространств (любой размерности).

Подпространство не может лежать ни в каком подпространстве меньшей размерности. Если dim  U  =  k , конечное число, и U  ⊂  W , то dim  W  =  k тогда и только тогда, когда U  =  W .

Пересечение

В R ³ пересечение двух различных двумерных подпространств является одномерным.

Если даны подпространства U и W векторного пространства V , то их пересечение U  ∩  W  := { v  ∈  V  : v  является элементом как U , так и  W } также является подпространством V . ^[10]

Доказательство:

1. Пусть v и w — элементы U  ∩  W . Тогда v и w принадлежат как U , так и W . Поскольку U — подпространство, то v  +  w принадлежит U . Аналогично, поскольку W — подпространство, то v  +  w принадлежит W . Таким образом, v  +  w принадлежит U  ∩  W .
2. Пусть v принадлежит U  ∩  W , и пусть c — скаляр. Тогда v принадлежит как U , так и W . Поскольку U и W являются подпространствами, c v принадлежит как U , так и  W .
3. Поскольку U и W — векторные пространства, то 0 принадлежит обоим множествам. Таким образом, 0 принадлежит U  ∩  W .

Для каждого векторного пространства V множество {0} и само V являются подпространствами V. [ ^{11] [12]}

Сумма

Если U и W являются подпространствами, то их сумма является подпространством ^{[13] [14]} $${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

Например, сумма двух прямых — это плоскость, которая содержит их обе. Размерность суммы удовлетворяет неравенству $${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$$

Здесь минимум возникает только в том случае, если одно подпространство содержится в другом, тогда как максимум является наиболее общим случаем. Размерность пересечения и сумма связаны следующим уравнением: ^[15] $${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$$

Набор подпространств независим , когда единственным пересечением между любой парой подпространств является тривиальное подпространство. Прямая сумма — это сумма независимых подпространств, записанная как . Эквивалентная переформулировка заключается в том, что прямая сумма — это сумма подпространств при условии, что каждое подпространство вносит вклад в охват суммы. ^{[16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle U\oplus W}$

Размерность прямой суммы такая же, как и у суммы подпространств, но может быть сокращена, поскольку размерность тривиального подпространства равна нулю. ^[20] ${\displaystyle U\oplus W}$

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

Решетка подпространств

Операции пересечение и сумма превращают множество всех подпространств в ограниченную модулярную решетку , где подпространство {0} , наименьший элемент , является единичным элементом операции суммы, а тождественное подпространство V , наибольший элемент, является единичным элементом операции пересечения.

Ортогональные дополнения

Если — пространство внутреннего произведения и — подмножество , то ортогональное дополнение к , обозначаемое , снова является подпространством. ^[21] Если — конечномерно и — подпространство, то размерности и удовлетворяют соотношению дополнительности . ^[22] Более того, ни один вектор не ортогонален самому себе, поэтому и является прямой суммой и . [ ^23] Применение ортогональных дополнений дважды возвращает исходное подпространство: для каждого подпространства . ^[24] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)}$ ${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{\perp }}$ ${\displaystyle (N^{\perp })^{\perp }=N}$ ${\displaystyle N}$

Эта операция, понимаемая как отрицание ( ), делает решетку подпространств (возможно бесконечной ) ортодополняемой решеткой (хотя и не дистрибутивной решеткой). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \neg }$

В пространствах с другими билинейными формами некоторые, но не все из этих результатов все еще сохраняются. В псевдоевклидовых пространствах и симплектических векторных пространствах , например, существуют ортогональные дополнения. Однако эти пространства могут иметь нулевые векторы , которые ортогональны самим себе, и, следовательно, существуют подпространства, такие что . В результате эта операция не превращает решетку подпространств в булеву алгебру (или алгебру Гейтинга ). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\cap N^{\perp }\neq \{0\}}$

Алгоритмы

Большинство алгоритмов для работы с подпространствами включают в себя сокращение строк . Это процесс применения элементарных операций над строками к матрице, пока она не достигнет либо ступенчатой ​​формы строк , либо сокращенной ступенчатой ​​формы строк . Сокращение строк имеет следующие важные свойства:

1. Уменьшенная матрица имеет то же нулевое пространство, что и исходная.
2. Редукция строк не изменяет размах векторов строк, т.е. сокращенная матрица имеет то же пространство строк, что и исходная.
3. Редукция строк не влияет на линейную зависимость векторов столбцов.

Основа для рядного пространства

Входные данные: матрица A размером m  ×  n .

Выходные данные Основа для пространства строк A .

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать A в ступенчатую форму.
2. Ненулевые строки ступенчатой ​​формы являются основой пространства строк матрицы A.

Пример см . в статье о пространстве между строками .

Если вместо этого мы приведем матрицу A к форме сокращенного ступенчатого ряда, то результирующий базис для пространства рядов будет определен однозначно. Это обеспечивает алгоритм для проверки того, равны ли два пространства рядов и, в более широком смысле, равны ли два подпространства K ^{n .}

Членство в подпространстве

Входные данные: Базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S из K ⁿ и вектор v с n компонентами.

Выходные данные. Определяет, является ли v элементом S.

1. Создайте матрицу A размером ( k  + 1) ×  n , строками которой являются векторы b ₁ , ... ,  b _k и v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать A в ступенчатую форму.
3. Если ступенчатая форма имеет ряд нулей, то векторы { b ₁ , ..., b _k , v } линейно зависимы, и, следовательно, v ∈ S .

Основа для колонного пространства

Входная матрица A размером m  ×  n

Выходной базис для пространства столбцов A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать A в ступенчатую форму.
2. Определите, какие столбцы ступенчатой ​​формы имеют опорные точки . Соответствующие столбцы исходной матрицы являются базисом для пространства столбцов.

Пример см. в статье о пространстве столбцов .

Это создает основу для пространства столбцов, которая является подмножеством исходных векторов столбцов. Это работает, поскольку столбцы с опорными точками являются основой для пространства столбцов ступенчатой ​​формы, а сокращение строк не изменяет линейные зависимости между столбцами.

Координаты для вектора

Входные данные: базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S из K ⁿ и вектор v ∈ S

Вывести числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k такие, что v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. Создайте расширенную матрицу A, столбцы которой — b ₁ ,..., b _k , а последний столбец — v .
2. Используйте элементарные операции над строками, чтобы привести A к сокращенной ступенчатой ​​форме.
3. Выразите последний столбец сокращенной ступенчатой ​​формы как линейную комбинацию первых k столбцов. Используемые коэффициенты — это искомые числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k . (Это должны быть именно первые k записей в последнем столбце сокращенной ступенчатой ​​формы.)

Если последний столбец сокращенной ступенчатой ​​формы содержит опорную точку, то входной вектор v не лежит в S.

Основа для нулевого пространства

Входные данные: матрица A размером m  ×  n .

Выходной базис для нулевого пространства A

1. Используйте элементарные операции над строками, чтобы привести A к форме сокращенного ступенчатого ряда.
2. Используя приведенную форму ступенчатой ​​строки, определите, какие из переменных x ₁ , x ₂ , ..., x _n являются свободными. Запишите уравнения для зависимых переменных в терминах свободных переменных.
3. Для каждой свободной переменной x _i выберем вектор в нулевом пространстве, для которого x _i = 1 , а остальные свободные переменные равны нулю. Полученный набор векторов является базисом для нулевого пространства A .

Пример см. в статье о пустом пространстве .

Базис для суммы и пересечения двух подпространств

Если заданы два подпространства U и W пространства V , то базис суммы и пересечения можно вычислить с помощью алгоритма Цассенхауза . ${\displaystyle U+W}$ ${\displaystyle U\cap W}$

Уравнения для подпространства

Входной базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S из K ⁿ

Выведите матрицу размером ( n  −  k ) ×  n , нулевое пространство которой равно S.

1. Создайте матрицу A , строки которой равны b ₁ , b ₂ , ..., b _k .
2. Используйте элементарные операции над строками, чтобы привести A к сокращенной ступенчатой ​​форме.
3. Пусть c ₁ , c ₂ , ..., c _n — столбцы приведенной ступенчатой ​​формы. Для каждого столбца без опорного элемента запишите уравнение, выражающее столбец как линейную комбинацию столбцов с опорными элементами.
4. Это приводит к однородной системе из n − k линейных уравнений, содержащих переменные c ₁ ,..., c _n . Матрица ( n − k ) × n , соответствующая этой системе, является искомой матрицей с нулевым пространством S .

Пример

Если приведенная ступенчатая форма строки A имеет вид

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

тогда векторы-столбцы c ₁ , ..., c ₆ удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

Отсюда следует, что векторы-строки матрицы A удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

В частности, векторы-строки матрицы A являются базисом для нулевого пространства соответствующей матрицы.

Смотрите также

• Циклическое подпространство
• Инвариантное подпространство
• Мультилинейное подпространственное обучение
• Факторное пространство (линейная алгебра)
• Подпространство сигнала
• Топология подпространства

Примечания

1. Термин линейное подпространство иногда используется для обозначения плоскостей и аффинных подпространств . В случае векторных пространств над вещественными числами линейные подпространства, плоскости и аффинные подпространства также называются линейными многообразиями, чтобы подчеркнуть, что существуют также многообразия .
2. В общем случае K может быть любым полем такой характеристики , что заданная целочисленная матрица имеет в нем соответствующий ранг . Все поля включают целые числа , но некоторые целые числа могут быть равны нулю в некоторых полях.
3. Это определение часто формулируется по-разному: векторы v ₁ , ..., v _k линейно независимы, если t ₁ v ₁ + ··· + t _k v _k ≠ 0 для ( t ₁ , t ₂ , ..., t _k ) ≠ (0, 0, ..., 0) . Эти два определения эквивалентны.

Цитаты

1. Халмош (1974), стр. 16-17, § 10.
2. Антон (2005, стр. 155)
3. Борегар и Фрели (1973, стр. 176)
4. Херштейн (1964, стр. 132)
5. Крейсциг (1972, стр. 200)
6. Неринг (1970, стр. 20)
7. Хефферон (2020) стр. 100, гл. 2, Определение 2.13
8. MathWorld (2021) Подпространство.
9. ДюШато (2002) Основные факты о Гильбертовом пространстве — заметки для занятий в Университете штата Колорадо по уравнениям в частных производных (M645).
10. Неринг (1970, стр. 21)
11. Хефферон (2020) стр. 100, гл. 2, Определение 2.13
12. Неринг (1970, стр. 20)
13. Неринг (1970, стр. 21)
14. Операторы, связанные с векторным пространством.
15. Неринг (1970, стр. 22)
16. Хефферон (2020) стр. 148, гл. 2, §4.10
17. Акслер (2015) стр. 21 § 1.40
18. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), стр. 10-11, § 1.2.5.
19. Халмош (1974), стр. 28-29, § 18.
20. Халмос (1974), стр. 30-31, § 19.
21. Акслер (2015) стр. 193, § 6.46
22. Акслер (2015) стр. 195, § 6.50
23. Акслер (2015) стр. 194, § 6.47
24. Акслер (2015) стр. 195, § 6.51

Источники

Учебник

• Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Axler, Sheldon Jay (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Халмош, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Херштейн, IN (1964), Топики по алгебре , Уолтем: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Крейциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3

Веб

• Weisstein, Eric Wolfgang . "Subspace". MathWorld . Получено 16 февраля 2021 г.
• ДюШато, Пол (5 сентября 2002 г.). "Основные факты о Гильбертовом пространстве" (PDF) . Университет штата Колорадо . Получено 17 февраля 2021 г. .

Внешние ссылки

• Стрэнг, Гилберт (7 мая 2009 г.). «Четыре фундаментальных подпространства». Архивировано из оригинала 2021-12-11 . Получено 17 февраля 2021 г. – через YouTube .
• Стрэнг, Гилберт (5 мая 2020 г.). «Общая картина линейной алгебры». Архивировано из оригинала 2021-12-11 . Получено 17 февраля 2021 г. – через YouTube .