В разделе математики , известном как универсальная алгебра (и в ее приложениях), подпрямо неприводимая алгебра — это алгебра , которую нельзя рассматривать как подпрямое произведение «более простых» алгебр. Подпрямо неприводимые алгебры играют в алгебре роль, аналогичную простым числам в теории чисел .
Универсальная алгебра A называется подпрямо неприводимой, если A имеет более одного элемента и когда любое подпрямое представление A включает в себя (в качестве фактора) алгебру, изоморфную A , причем изоморфизм задается отображением проекции.
Теорема о подпрямом представлении универсальной алгебры утверждает, что каждая алгебра подпрямо представима своими подпрямо неприводимыми факторами . Таким образом, эквивалентным определением «подпрямой неприводимой» является любая алгебра A , которая не подпрямо представима теми своими факторами, которые не изоморфны A . (Это не совсем то же самое, что «по собственным факторам», потому что собственный фактор A может быть изоморфен A , например фактор полурешетки ( Z , min ), полученный путем идентификации только двух элементов 3 и 4. )
Непосредственным следствием является то, что любое многообразие как класс, замкнутый относительно гомоморфизмов , подалгебр и прямых произведений , определяется своими подпрямо неприводимыми членами, поскольку каждая алгебра А в многообразии может быть построена как подалгебра подходящего прямого произведения подпрямо неприводимых членов. неприводимые частные A , все из которых принадлежат многообразию, потому что A принадлежит. По этой причине часто изучают не само многообразие, а только его подпрямые неприводимые.
Алгебра A является подпрямо неприводимой тогда и только тогда , когда она содержит два элемента, которые отождествляются каждым собственным фактором, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда ее решетка сравнений Con A имеет наименьший неединичный элемент. То есть любая подпрямая неприводимая должна содержать определенную пару элементов, таким образом свидетельствующих о ее неприводимости. Имея такой свидетель ( a , b ) подпрямой неприводимости, мы говорим, что подпрямая неприводимая является ( a , b )-неприводимой.
Для любого класса C подобных алгебр лемма Йонссона (из-за Бьярни Йонссона ) утверждает, что если многообразие HSP( C ), порожденное C , является конгруэнц-дистрибутивным, его подпрямые неприводимые находятся в HSP U ( C ), то есть они являются факторами подалгебр ультрапроизведений членов C . (Если C — конечное множество конечных алгебр, операция ультрапроизведения избыточна.)
Необходимым и достаточным условием того, чтобы гейтинговая алгебра была подпрямо неприводимой, является наличие наибольшего элемента строго ниже 1. Свидетельствующей парой является этот элемент и 1, и идентификация любой другой пары элементов a , b идентифицирует как a → b , так и b → a с 1, тем самым сводя все, что выше этих двух импликаций, к 1. Следовательно, каждая конечная цепочка из двух или более элементов как алгебра Гейтинга подпрямо неприводима.
По лемме Йонссона подпрямо неприводимые алгебры конгруэнц-дистрибутивного многообразия, порожденные конечным набором конечных алгебр, не больше порождающих алгебр, поскольку факторы и подалгебры алгебры A никогда не больше самой A. Например, подпрямые неприводимые в многообразии, порожденном конечной линейно упорядоченной алгеброй Гейтинга H, должны быть просто невырожденными факторами H , а именно всеми меньшими линейно упорядоченными невырожденными алгебрами Гейтинга. Условия, вообще говоря, нельзя отбросить: например, многообразие всех гейтинговых алгебр порождается множеством ее конечных подпрямо неприводимых алгебр, но существуют подпрямо неприводимые гейтинговые алгебры произвольной (бесконечной) мощности . Существует также единственная конечная алгебра, порождающая (неконгруэнц-дистрибутивное) многообразие со сколь угодно большими подпрямыми неприводимыми. [2]