Барицентрическое подразделение

Выполните итерацию от 1 до 4 барицентрических подразделений 2-симплексов.

В математике барицентрическое подразделение — это стандартный способ разделения данного симплекса на более мелкие. Его расширение на симплициальные комплексы является каноническим методом их уточнения. Следовательно, барицентрическое подразделение является важным инструментом в алгебраической топологии.

Мотивация

Барицентрическое подразделение — это операция над симплициальными комплексами. В алгебраической топологии иногда полезно заменить исходные пространства симплициальными комплексами посредством триангуляции: замена позволяет присвоить пространствам комбинаторные инварианты в качестве эйлеровой характеристики. Можно задаться вопросом, существует ли аналогичный способ замены непрерывных функций, определенных в топологических пространствах, функциями, линейными на симплексах и гомотопными исходным отображениям (см. также симплициальную аппроксимацию). В общем случае такое задание требует уточнения данного комплекса, то есть замены больших симплексов объединением меньших симплексов. Стандартным способом осуществления такого уточнения является барицентрическое подразделение. Более того, барицентрическое подразделение создает карты групп гомологии и полезно для вычислительных задач, см. Иссечение и последовательность Майера-Вьеториса.

Определение

Подразделение симплициальных комплексов

Пусть – геометрический симплициальный комплекс. Комплекс называется подразделением if. ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• каждый симплекс содержится в симплексе ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• каждый симплекс является конечным объединением симплексов ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Эти условия означают, что при равенстве множеств и топологических пространств меняется только симплициальная структура. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Барицентрическое подразделение 2-симплекса. Цветные точки, добавленные справа, являются барицентрами симплексов слева.

Барицентрическое подразделение симплекса

Для симплекса, натянутого на точки , барицентром считается точка . Чтобы определить подразделение, мы будем рассматривать симплекс как симплициальный комплекс, который содержит только один симплекс максимальной размерности, а именно сам симплекс. Барицентрическое подразделение симплекса можно определить индуктивно по его размерности. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle p_{0},...,p_{n}}$ ${\displaystyle b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})}$

Для точек, т.е. симплексов размерности 0, барицентрическое подразделение определяется как сама точка.

Предположим тогда, что для симплекса измерения его грани измерения уже разделены. Следовательно, существуют симплексы, накрывающие . Барицентрическое подразделение тогда определяется как геометрический симплициальный комплекс, чьи максимальные симплексы размерности каждый является выпуклой оболочкой для одной пары для некоторых , поэтому будут симплексы, покрывающие . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}}$ ${\displaystyle (n+1)!}$ ${\displaystyle \Delta }$

Можно обобщить подразделение на симплициальные комплексы, симплексы которых не все содержатся в одном симплексе максимальной размерности, т. е. на симплициальные комплексы, геометрически не соответствующие одному симплексу. Это можно сделать, выполняя описанные выше шаги одновременно для каждого симплекса максимальной размерности. Индукция тогда будет основана на -ом скелете симплициального комплекса. Это позволяет осуществлять подразделение более одного раза. ^[2] ${\displaystyle n}$

Барицентрическое подразделение выпуклого многогранника

Додекаэдр Дисдякиса , барицентрическое деление куба.

Операцию барицентрического подразделения можно применить к любому выпуклому многограннику любой размерности, в результате чего образуется еще один выпуклый многогранник той же размерности. ^[3] В этой версии барицентрического подразделения многограннику не обязательно образовывать симплициальный комплекс: он может иметь грани, которые не являются симплексами. Это двойная операция по отношению к всеобрезанию . ^[4] Вершины барицентрического подразделения соответствуют граням всех размерностей исходного многогранника. Две вершины являются смежными в барицентрическом подразделении, если они соответствуют двум граням разных измерений, при этом грань более низкой размерности включена в грань более высокой размерности. Фасеты барицентрического подразделения являются симплексами, соответствующими флагам исходного многогранника .

Например, барицентрическим подразделением куба или правильного октаэдра является додекаэдр дисдиакиса . ^[5] Вершины додекаэдра Дисдякиса степени 6, 4 и 8 соответствуют вершинам, ребрам и квадратным граням куба соответственно.

Характеристики

сетка

Пусть симплекс и определить . Один из способов измерения сетки геометрического симплициального комплекса — взять максимальный диаметр симплексов, содержащихся в комплексе. Пусть - -мерный симплекс, возникающий в результате покрытия полученного барицентрическим подразделением. Тогда справедлива следующая оценка: ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|a-b\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )}$. Следовательно, применяя барицентрическое подразделение достаточно часто, самое большое ребро можно сделать настолько маленьким, насколько это необходимо. ^[6]

Гомология

В некоторых утверждениях теории гомологии хочется заменить симплициальные комплексы подразделением. На уровне симплициальных групп гомологий требуется отображение группы гомологий исходного симплициального комплекса в группы подразделенного комплекса. Действительно, можно показать, что для любого подразделения конечного симплициального комплекса существует уникальная последовательность отображений между группами гомологии, такая, что для каждого из отображений выполняется и такая, что отображения индуцируют эндоморфизмы цепных комплексов. Более того, индуцированное отображение является изоморфизмом: подразделение не меняет гомологии комплекса. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \lambda (\Delta )\subset \Delta }$

Для вычисления сингулярных групп гомологий топологического пространства рассматриваются непрерывные функции , где обозначает -мерный стандартный симплекс. Аналогично тому, как это описано для симплициальных групп гомологии, барицентрическое подразделение можно интерпретировать как эндоморфизм сингулярных цепных комплексов. Здесь снова существует оператор подразделения , отправляющий цепочку в линейную комбинацию , где сумма пробегает все симплексы , которые появляются при покрытии барицентрическим подразделением, и для всех таких . Это отображение также индуцирует автоморфизм цепных комплексов. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$ ${\displaystyle \sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}}$ ${\displaystyle B_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}}$ ${\displaystyle B_{\Delta }}$

Приложения

Барицентрическое подразделение может применяться к целым симплициальным комплексам, как в теореме о симплициальной аппроксимации, или его можно использовать для разделения геометрических симплексов. Поэтому это имеет решающее значение для утверждений в теории сингулярной гомологии, см. Последовательность Майера-Вьеториса и вырезание.

Симпличное приближение

Пусть , – абстрактные симплициальные комплексы над множествами , . Симплициальное отображение — это функция , которая отображает каждый симплекс в симплекс в . Путем аффинно-линейного расширения на симплексах индуцируется отображение между геометрическими реализациями комплексов. Каждая точка геометрического комплекса лежит внутри ровно одного симплекса — его опоры. Рассмотрим теперь непрерывное отображение . Симплициальное отображение называется симплициальным приближением тогда и только тогда, когда каждое отображается на носитель in . Если такое приближение существует, можно построить преобразование гомотопии в , определив его на каждом симплексе; там он всегда существует, потому что симплексы стягиваемы. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Теорема о симплициальной аппроксимации гарантирует для каждой непрерывной функции существование симплициальной аппроксимации, по крайней мере, после уточнения , например, путем замены ее повторным барицентрическим подразделением. ^[8] Теорема играет важную роль в некоторых утверждениях алгебраической топологии, чтобы уменьшить поведение непрерывных отображений на поведение симплициальных отображений, как, например, в теореме Лефшеца о неподвижной точке. ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Теорема Лефшеца о неподвижной точке

Число Лефшеца — полезный инструмент для определения того, имеет ли непрерывная функция фиксированные точки. Эти данные вычисляются следующим образом: Предположим, что и являются топологическими пространствами, допускающими конечные триангуляции. Непрерывное отображение индуцирует гомоморфизмы между своими симплициальными группами гомологий с коэффициентами в поле . Это линейные карты между векторными пространствами, поэтому можно определить их след и их попеременную сумму. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

называется числом Лефшеца . Если , то это число является эйлеровой характеристикой . Теорема о неподвижной точке утверждает, что всякий раз, когда , имеет неподвижную точку. В доказательстве это сначала показано только для симплициальных отображений, а затем обобщается на любые непрерывные функции с помощью аппроксимационной теоремы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=id}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Теорема Брауэра о неподвижной точке является частным случаем этого утверждения. Let – эндоморфизм единичного шара. Поскольку все его группы гомологии исчезают и всегда являются единицей, поэтому , поэтому имеет неподвижную точку. ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Последовательность Майера-Виеториса

Последовательность Майера-Виеториса часто используется для вычисления сингулярных групп гомологии и приводит к индуктивным аргументам в топологии. Соответствующее утверждение можно сформулировать следующим образом:

Пусть открыта оболочка топологического пространства . ${\displaystyle X=A\cup B}$ ${\displaystyle X}$

Есть точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

где мы рассматриваем сингулярные группы гомологий, являются вложениями и обозначают прямую сумму абелевых групп. ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \oplus }$

Для построения сингулярных групп гомологий рассматриваются непрерывные отображения, определенные на стандартном симплексе . Препятствием в доказательстве теоремы являются отображения , образ которых не содержится ни в одном из . Это можно исправить с помощью оператора подразделения: рассматривая образы таких карт как сумму образов меньших симплексов, лежащих в или , можно показать, что включение индуцирует изоморфизм гомологий, который необходим для сравнения групп гомологий. ^[10] ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)}$

Иссечение

Вырезание можно использовать для определения относительных групп гомологии. Это позволяет в некоторых случаях забыть о подмножествах топологических пространств для их групп гомологий и тем самым упрощает их вычисление:

Пусть – топологическое пространство и пусть – подмножества, где замкнуто такое, что . Тогда включение индуцирует изоморфизм для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset A\subset X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\subset A^{\circ }}$ ${\displaystyle i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)}$ ${\displaystyle H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

Опять же, в сингулярных гомологиях могут появиться такие отображения, что их образ не является частью подмножеств, упомянутых в теореме. Аналогично их можно понимать как сумму изображений меньших симплексов, полученных барицентрическим подразделением. ^[11] ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$

Рекомендации

1. Джеймс Р. Манкрес, Элементы алгебраической топологии (на немецком языке), Менло-Парк, Калифорния, стр. 96, ISBN 0-201-04586-9
2. Джеймс Р. Манкрес, Элементы алгебраической топологии (на немецком языке), Менло-Парк, Калифорния, стр. 85 f, ISBN 0-201-04586-9
3. Эвальд, Г.; Шепард, GC (1974), «Звездные подразделения граничных комплексов выпуклых многогранников», Mathematische Annalen , 210 : 7–16, doi : 10.1007/BF01344542, MR  0350623
4. Маттео, Николас (2015), Выпуклые многогранники и мозаики с несколькими орбитами флагов (докторская диссертация), Северо-Восточный университет, ProQuest  1680014879См. стр. 22, где всеобрезание описано как «граф-флаг».
5. Лангер, Джоэл К.; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математической жемчужины», Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi : 10.1007/s00032-010- 0124-5, МР  2781856
6. Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология (PDF) , стр. 120
7. Хэтчер (2001), стр. 122 f.
8. Ральф Штекер, Хайнер Цишанг, Algebraische Topologie (на немецком языке) (2-е изд. überarbeitete), Штутгарт: Б. Г. Тойбнер, стр. 81, ISBN 3-519-12226-Х
9. Бредон, Глен Э., Springer Verlag (ред.), Топология и геометрия (на немецком языке), Берлин/Гейдельберг/Нью-Йорк, стр. 254 f, ISBN 3-540-97926-3
10. Хэтчер (2001), с. 149.
11. Хэтчер (2001), с. 119.