Математическая концепция
В математике , в частности в теории меры , счетная мера является интуитивным способом определения меры для любого множества – «размер» подмножества принимается равным числу элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов, и бесконечности , если подмножество бесконечно . [1]
Мера подсчета может быть определена на любом измеримом пространстве (то есть на любом множестве вместе с сигма-алгеброй), но в основном используется на счетных множествах. [1]
В формальной нотации мы можем превратить любое множество в измеримое пространство, взяв множество мощности как сигма-алгебру , то есть все подмножества являются измеримыми множествами. Тогда счетная мера на этом измеримом пространстве является положительной мерой, определяемой
для всех , где обозначает мощность множества [2]
Счетная мера на является σ-конечной тогда и только тогда , когда пространство счетно . [3]
Интеграция на Н {\displaystyle \mathbb {N} }
с подсчетом меры
Возьмем мерное пространство , где есть множество всех подмножеств натуральных чисел и счетная мера. Возьмем любую измеримую . Так как она определена на , может быть представлена поточечно как
Каждое измеримо. Более того . Более того, поскольку каждое из них является простой функцией , то по теореме о монотонной сходимости
Обсуждение
Мера подсчета является частным случаем более общей конструкции. С обозначениями, как указано выше, любая функция определяет меру на , где
возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как супремум сумм по всем конечным подмножествам, то есть,
Взяв для всех , получаем меру подсчета.
Смотрите также
Ссылки
- ^ ab Счетная мера на PlanetMath .
- ^ Шиллинг, Рене Л. (2005). Меры, интегралы и мартингалы . Издательство Кембриджского университета. п. 27. ISBN 0-521-61525-9.
- ^ Хансен, Эрнст (2009). Теория меры (Четвертое изд.). Кафедра математических наук, Копенгагенский университет. стр. 47. ISBN 978-87-91927-44-7.