Поиск в ширину

Алгоритм поиска узлов графа

Анимированный пример поиска в ширину. Черный: изучен, серый: поставлен в очередь для дальнейшего изучения.

BFS по алгоритму решения лабиринтов

Верхняя часть дерева игры «Крестики-нолики»

Поиск в ширину ( BFS ) — это алгоритм поиска в древовидной структуре данных узла, удовлетворяющего заданному свойству. Он начинается с корня дерева и исследует все узлы на текущей глубине , прежде чем перейти к узлам на следующем уровне глубины. Дополнительная память, обычно очередь , необходима для отслеживания дочерних узлов, которые были обнаружены, но еще не исследованы.

Например, в шахматном эндшпиле шахматный движок может построить дерево игры из текущей позиции, применяя все возможные ходы и используя поиск в ширину, чтобы найти выигрышную позицию для белых. Неявные деревья (например, игровые деревья или другие деревья решения задач) могут иметь бесконечный размер; поиск в ширину гарантированно находит узел решения ^[1], если он существует.

Напротив, (простой) поиск в глубину (DFS), который исследует ветвь узла как можно дальше, прежде чем возвращаться и расширять другие узлы, ^[2] может заблудиться в бесконечной ветке и никогда не добраться до узла решения. Итеративный поиск в глубину с углублением позволяет избежать последнего недостатка ценой повторного исследования верхних частей дерева. С другой стороны, оба алгоритма поиска в глубину обычно требуют гораздо меньше дополнительной памяти, чем поиск в ширину. ^[3]

Поиск в ширину можно обобщить как на неориентированные графы , так и на ориентированные графы с заданным начальным узлом (иногда называемым «ключом поиска»). ^[4] При поиске в пространстве состояний в искусственном интеллекте часто допускаются повторные поиски вершин, тогда как при теоретическом анализе алгоритмов, основанных на поиске в ширину, обычно принимаются меры предосторожности для предотвращения повторений.

BFS и ее применение для поиска компонентов связности графов были изобретены в 1945 году Конрадом Цузе в его (отвергнутой) докторской диссертации. диссертация по языку программирования Plankalkül , но она не была опубликована до 1972 года. ^[5] Он был заново изобретен в 1959 году Эдвардом Ф. Муром , который использовал его для поиска кратчайшего пути из лабиринта, ^{[6] [7]} и позже разработан С.А. Ли в алгоритм маршрутизации проводов (опубликован в 1961 г.). ^[8]

Псевдокод

Входные данные : граф G и начальный корень вершины G.

Выход : Целевое состояние. Родительские ссылки прослеживают кратчайший путь обратно к корню [ ^9]

1 процедура BFS( G , root ) равна 2, пусть Q — очередь 3 корень метки как исследовано 4 Q .enqueue( корень ) 5 , пока  Q не пуст, do 6 v  := Q .dequeue() 7 , если  v является целью, то 8 вернуть  v 9 для всех ребер от v до w  в  G .adjacentEdges( v ) do
10 , если  w не помечено как исследованное, то
11 пометить w как исследованное12 w .parent := v
13 Q .enqueue( w )

Подробнее

Эта нерекурсивная реализация аналогична нерекурсивной реализации поиска в глубину , но отличается от нее двумя способами:

1. он использует очередь ( First In First Out ) вместо стека ( Last In First Out ) и
2. он проверяет, была ли вершина исследована, прежде чем поставить вершину в очередь, вместо того, чтобы откладывать эту проверку до тех пор, пока вершина не будет исключена из очереди.

Если G — дерево , замена очереди этого алгоритма поиска в ширину стеком даст алгоритм поиска в глубину. Для общих графов замена стека реализации итеративного поиска в глубину очередью также приведет к созданию алгоритма поиска в ширину, хотя и несколько нестандартного. ^[10]

Очередь Q содержит границу, вдоль которой алгоритм выполняет поиск.

Узлы можно пометить как исследованные, сохранив их в наборе или по атрибуту на каждом узле, в зависимости от реализации.

Обратите внимание, что слово node обычно взаимозаменяемо со словом vertex .

Родительский атрибут каждого узла полезен для доступа к узлам по кратчайшему пути, например , путем возврата от узла назначения до начального узла, после запуска BFS и установки узлов-предшественников.

Поиск в ширину создает так называемое дерево в ширину . Вы можете увидеть, как выглядит дерево в ширину, в следующем примере.

Пример

Ниже приведен пример дерева в ширину, полученного путем запуска BFS в немецких городах, начиная с Франкфурта :

Пример карты Южной Германии с некоторыми связями между городами.

Дерево в ширину, полученное при запуске BFS на данной карте и запуске во Франкфурте.

Анализ

Временная и пространственная сложность

Временную сложность можно выразить как , поскольку в худшем случае будет исследована каждая вершина и каждое ребро. — количество вершин и — количество ребер в графе. Обратите внимание, что значение может варьироваться от и , в зависимости от того, насколько разрежен входной граф. ^[11] ${\displaystyle O(|V|+|E|)}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |E|}$ ${\displaystyle O(|E|)}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle O(|V|^{2})}$

Когда количество вершин в графе известно заранее и для определения того, какие вершины уже добавлены в очередь, используются дополнительные структуры данных, сложность пространства может быть выражена как , где – количество вершин. Это в дополнение к пространству, необходимому для самого графа, которое может варьироваться в зависимости от представления графа , используемого реализацией алгоритма. ${\displaystyle O(|V|)}$ ${\displaystyle |V|}$

При работе с графами, которые слишком велики для явного хранения (или бесконечны), практичнее описывать сложность поиска в ширину разными терминами: найти узлы, находящиеся на расстоянии d от начального узла (измеряется числом обходов ребер), BFS требует O ( b ^{d + 1} ) времени и памяти, где b — « коэффициент ветвления » графа (средняя исходящая степень). ^{[12] : 81}

Полнота

При анализе алгоритмов входными данными для поиска в ширину считается конечный граф, представленный в виде списка смежности , матрицы смежности или аналогичного представления. Однако при применении методов обхода графа в искусственном интеллекте входные данные могут быть неявным представлением бесконечного графа. В этом контексте метод поиска описывается как полный, если он гарантированно находит целевое состояние, если оно существует. Поиск в ширину завершен, а поиск в глубину — нет. При применении к бесконечным графам, представленным неявно, поиск в ширину в конечном итоге найдет целевое состояние, но поиск в глубину может потеряться в частях графа, которые не имеют целевого состояния и никогда не возвращаются. ^[13]

Заказ БФС

Перечисление вершин графа называется BFS-упорядочением, если оно является возможным результатом применения BFS к этому графу.

Пусть — граф с вершинами. Напомним, что это множество соседей . Позвольте быть списком различных элементов , для , пусть будет наименьший такой, который является соседом , если такой существует, и быть в противном случае. ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \sigma =(v_{1},\dots ,v_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V\setminus \{v_{1},\dots ,v_{m}\}}$ ${\displaystyle \nu _{\sigma }(v)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \infty }$

Пусть – перечисление вершин . Перечисление называется упорядочением BFS (с source ), если для всех вершина минимальна . Эквивалентно, это упорядочение BFS, если для всех с существует сосед такого , что . ${\displaystyle \sigma =(v_{1},\dots ,v_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle 1<i\leq n}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle w\in V\setminus \{v_{1},\dots ,v_{i-1}\}}$ ${\displaystyle \nu _{(v_{1},\dots ,v_{i-1})}(w)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1\leq i<j<k\leq n}$ ${\displaystyle v_{i}\in N(v_{k})\setminus N(v_{j})}$ ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle m<i}$

Приложения

Поиск в ширину можно использовать для решения многих задач теории графов, например:

• Копирование сборки мусора , алгоритм Чейни
• Поиск кратчайшего пути между двумя узлами u и v , при этом длина пути измеряется количеством ребер (преимущество перед поиском в глубину ) ^[14]
• (Обратный) Нумерация сетки Катхилла – Макки
• Метод Форда – Фулкерсона для расчета максимального расхода в проточной сети.
• Сериализация/десериализация двоичного дерева по сравнению с сериализацией в отсортированном порядке позволяет эффективно перестроить дерево.
• Построение функции отказа средства сопоставления с образцом Ахо-Корасика .
• Проверка двудольности графа .
• Реализация параллельных алгоритмов вычисления транзитивного замыкания графа. ^[15]

Смотрите также

• Поиск в глубину
• Итеративный поиск в глубину с углублением
• Структура уровней
• Лексикографический поиск в ширину
• Параллельный поиск в ширину

Рекомендации

1. то есть узел, удовлетворяющий указанному свойству
2. Кормен Томас Х.; и другие. (2009). «22,3». Введение в алгоритмы . МТИ Пресс.
3. Корф, Ричард Э. (1985). «Итеративное углубление в глубину: поиск оптимального допустимого дерева». Искусственный интеллект (27): 99–100. дои : 10.7916/D8HQ46X1.
4. «Спецификация теста Graph500 (оценка производительности суперкомпьютера)» . Graph500.org, 2010. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 г. Проверено 15 марта 2015 г.
5. Цузе, Конрад (1972), Der Plankalkül (на немецком языке), Интернет-архив Конрада Цузе. См. стр. 96–105 связанного PDF-файла (внутренняя нумерация 2.47–2.56).
6. Мур, Эдвард Ф. (1959). «Кратчайший путь через лабиринт». Труды международного симпозиума по теории коммутации . Издательство Гарвардского университета. стр. 285–292.Цитируется Корменом, Лейзерсоном, Ривестом и Штейном.
7. Скиена, Стивен (2008). «Сортировка и поиск». Руководство по проектированию алгоритмов . Спрингер. п. 480. Бибкод :2008адм..книга.....С. дои : 10.1007/978-1-84800-070-4_4. ISBN 978-1-84800-069-8.
8. Ли, Калифорния (1961). «Алгоритм соединения путей и его приложения». Транзакции IRE на электронных компьютерах (3): 346–365. дои : 10.1109/TEC.1961.5219222. S2CID  40700386.
9. Кормен, Томас Х. «22.2 Поиск в ширину». Введение в алгоритмы. ISBN 978-81-203-4007-7. ОСЛК  1006880283.
10. «Обход графа на основе стека ≠ поиск в глубину» . 11011110.github.io . Проверено 10 июня 2020 г.
11. Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2001) [1990]. «22.2 Поиск в ширину». Введение в алгоритмы (2-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 531–539. ISBN 0-262-03293-7.
12. Рассел, Стюарт ; Норвиг, Питер (2003) [1995]. Искусственный интеллект: современный подход (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0137903955.
13. Коппин, Б. (2004). Искусственный интеллект освещен. Джонс и Бартлетт Обучение. стр. 79–80.
14. Азиз, Аднан; Пракаш, Амит (2010). «4. Алгоритмы на графах». Алгоритмы проведения собеседований . п. 144. ИСБН 978-1453792995.
15. Дхулипала, Лаксман; Блеллок, Гай Э.; Шун, Джулиан (21 августа 2019 г.). Теоретически эффективные алгоритмы параллельных графов могут быть быстрыми и масштабируемыми . п. 17. arXiv : 1805.05208 . дои : 10.1145/3210377.3210414. ISBN 9781450357999. S2CID  44126609.

• Кнут, Дональд Э. (1997), Искусство компьютерного программирования, том 1. 3-е изд., Бостон: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-89683-1, заархивировано из оригинала 4 сентября 2008 г. , получено 9 февраля 2008 г.

Внешние ссылки

• Структуры открытых данных. Раздел 12.3.1. Поиск в ширину, Пэт Морин.