В теории групп , разделе математики , торсионная группа или периодическая группа — это группа , в которой каждый элемент имеет конечный порядок . Показатель такой группы, если он существует, является наименьшим общим кратным порядков элементов.
Например, из теоремы Лагранжа следует , что каждая конечная группа является периодической и имеет показатель степени, делящий ее порядок.
Примерами бесконечных периодических групп являются аддитивная группа кольца многочленов над конечным полем и факторгруппа рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые, группы Прюфера . Другим примером является прямая сумма всех диэдральных групп . Ни один из этих примеров не имеет конечного порождающего множества. Явные примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп были построены Голодом [1] на основе совместной работы с Шафаревичем (см. теорему Голода–Шафаревича ), а также Алешиным [2] и Григорчуком [3] с использованием автоматов . Эти группы имеют бесконечную экспоненту; примеры с конечной экспонентой приведены, например, в виде групп-монстров Тарского, построенных Ольшанским. [4]
Проблема Бернсайда — классический вопрос, который касается взаимосвязи между периодическими группами и конечными группами , когда рассматриваются только конечно порожденные группы : приводит ли указание показателя к конечности? Существование бесконечных, конечно порожденных периодических групп, как в предыдущем абзаце, показывает, что ответ «нет» для произвольного показателя. Хотя гораздо больше известно о том, какие показатели могут встречаться для бесконечных конечно порожденных групп, все еще есть некоторые, для которых проблема остается открытой.
Для некоторых классов групп, например линейных групп , ответ на проблему Бернсайда, ограниченный классом, положительный.
Интересное свойство периодических групп состоит в том, что определение не может быть формализовано в терминах логики первого порядка . Это потому, что для этого потребовалась бы аксиома вида
которая содержит бесконечную дизъюнкцию и поэтому недопустима: логика первого порядка допускает квантификаторы по одному типу и не может захватывать свойства или подмножества этого типа. Также невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию, используя бесконечный набор аксиом: теорема о компактности подразумевает, что никакой набор формул первого порядка не может характеризовать периодические группы. [5]
Подгруппа кручения абелевой группы A — это подгруппа A , состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Абелева группа кручения — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения — это абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом с конечным порядком.
Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. Действительно, позже мы покажем, что не существует множества формул первого порядка, модели которых являются именно периодическими группами.
