Многолинейная карта

Векторная функция нескольких векторов, линейная по каждому аргументу

В линейной алгебре полилинейная карта — это функция нескольких переменных, которая линейна отдельно по каждой переменной. Точнее, полилинейная карта — это функция

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

где ( ) и являются векторными пространствами (или модулями над коммутативным кольцом ), со следующим свойством: для каждого , если все переменные но остаются постоянными, то является линейной функцией . [ ^1] Один из способов визуализировать это — представить себе два ортогональных вектора; если один из этих векторов масштабируется в 2 раза, а другой остается неизменным, векторное произведение также масштабируется в 2 раза. Если оба масштабируются в 2 раза, векторное произведение масштабируется в . ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle 2^{2}}$

Полилинейное отображение одной переменной является линейным отображением , а двух переменных является билинейным отображением . В более общем смысле, для любого неотрицательного целого числа полилинейное отображение k переменных называется k -линейным отображением . Если область значений полилинейного отображения является полем скаляров , оно называется полилинейной формой . Полилинейные отображения и полилинейные формы являются фундаментальными объектами изучения в полилинейной алгебре . ${\displaystyle k}$

Если все переменные принадлежат одному и тому же пространству, можно рассмотреть симметричные , антисимметричные и чередующиеся k -линейные отображения. Последние два совпадают, если базовое кольцо (или поле ) имеет характеристику, отличную от двух, в противном случае первые два совпадают.

Примеры

• Любое билинейное отображение является полилинейным отображением. Например, любое скалярное произведение на -векторном пространстве является полилинейным отображением, как и векторное произведение векторов в . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Определитель матрицы — это знакопеременная полилинейная функция столбцов (или строк) квадратной матрицы .
• Если - функция C k , то производную -й функции в каждой точке ее области определения можно рассматривать как симметричную линейную функцию . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Координатное представление

Позволять

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

быть полилинейным отображением между конечномерными векторными пространствами, где имеет размерность , и имеет размерность . Если мы выберем базис для каждого и базис для (используя жирный шрифт для векторов), то мы можем определить набор скаляров как ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle d_{i}\!}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle d\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Тогда скаляры полностью определяют полилинейную функцию . В частности, если ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$ ${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

для , тогда ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Пример

Возьмем трилинейную функцию

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

где V _i = R ² , d _i = 2, i = 1,2,3 , и W = R , d = 1 .

Базис для каждого V _i — Пусть ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

где . Другими словами, константа является значением функции в одной из восьми возможных троек базисных векторов (поскольку для каждой из трех существует два выбора ), а именно: ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle A_{ijk}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Каждый вектор можно выразить как линейную комбинацию базисных векторов ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

Значение функции для произвольного набора из трех векторов можно выразить как ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

или в развернутом виде как

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Отношение к тензорным произведениям

Между полилинейными отображениями существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

и линейные карты

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

где обозначает тензорное произведение . Связь между функциями и задается формулой ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

Многолинейные функции нан×нматрицы

Можно рассматривать полилинейные функции на матрице n × n над коммутативным кольцом K с единицей как функцию строк (или, что эквивалентно, столбцов) матрицы. Пусть A — такая матрица, а a _i , 1 ≤ i ≤ n , — строки матрицы A . Тогда полилинейную функцию D можно записать как

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

удовлетворяющий

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Если мы представим j -ю строку единичной матрицы, то мы можем выразить каждую строку a _i как сумму ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Используя полилинейность D, перепишем D ( A ) как

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Продолжая эту замену для каждого a _{i ,} получаем, для 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

Следовательно, D ( A ) однозначно определяется тем, как D действует на . ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

Пример

В случае матриц 2×2 получаем

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

где и . Если ограничиться знакопеременной функцией, то и . Полагая , получаем детерминантную функцию на матрицах 2×2: ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$ ${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

Характеристики

• Полилинейное отображение имеет значение ноль, если один из его аргументов равен нулю.

Смотрите также

• Алгебраическая форма
• Многолинейная форма
• Однородный многочлен
• Однородная функция
• Тензоры

Ссылки

1. Ланг, Серж (2005) [2002]. "XIII. Матрицы и линейные отображения §S Детерминанты". Алгебра . Выпускные тексты по математике. Т. 211 (3-е изд.). Springer. С. 511–. ISBN 978-0-387-95385-4.