Многолинейная форма

Отображение из нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу

В абстрактной алгебре и полилинейной алгебре полилинейная форма на векторном пространстве над полем — это отображение ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

который является отдельно - линейным по каждому из своих аргументов. ^[1] В более общем случае можно определить полилинейные формы на модуле над коммутативным кольцом . Однако в остальной части этой статьи будут рассматриваться только полилинейные формы на конечномерных векторных пространствах. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$

Полилинейная -форма на называется ( ковариантным ) -тензором , а векторное пространство таких форм обычно обозначается или . ^[2] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{k}(V)}$

Тензорное произведение

Если заданы -тензор и -тензор , то произведение , известное как тензорное произведение , можно определить с помощью свойства ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)}$

${\displaystyle (f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),}$

для всех . Тензорное произведение полилинейных форм не коммутативно, однако оно билинейно и ассоциативно: ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V}$

${\displaystyle f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})}$, ${\displaystyle (af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),}$

и

${\displaystyle (f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).}$

Если образует базис для -мерного векторного пространства и является соответствующим двойственным базисом для двойственного пространства , то произведения , при этом образуют базис для . Следовательно, имеет размерность . ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle n^{k}}$

Примеры

Билинейные формы

Если , называется билинейной формой . Знакомым и важным примером (симметричной) билинейной формы является стандартное скалярное произведение (скалярное произведение) векторов. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle f:V\times V\to K}$

Чередующиеся многолинейные формы

Важным классом полилинейных форм являются знакопеременные полилинейные формы , которые обладают дополнительным свойством, что ^[3]

${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{1},\ldots ,x_{k}),}$

где — перестановка , а — ее знак (+1, если четное, –1, если нечетное). Как следствие, чередующиеся полилинейные формы антисимметричны относительно перестановки любых двух аргументов (т. е. и ): ${\displaystyle \sigma :\mathbf {N} _{k}\to \mathbf {N} _{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma (p)=q,\sigma (q)=p}$ ${\displaystyle \sigma (i)=i,1\leq i\leq k,i\neq p,q}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{k})=-f(x_{1},\ldots ,x_{q},\ldots ,x_{p},\ldots ,x_{k}).}$

С дополнительной гипотезой, что характеристика поля не равна 2, установка подразумевает в качестве следствия, что ; то есть форма имеет значение 0 всякий раз, когда два ее аргумента равны. Обратите внимание, однако, что некоторые авторы ^[4] используют это последнее условие как определяющее свойство чередующихся форм. Это определение подразумевает свойство, данное в начале раздела, но, как отмечено выше, обратная импликация имеет место только при . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{p}=x_{q}=x}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}$

Знакопеременная полилинейная -форма над называется мультиковектором степени или -ковектором , а векторное пространство таких знакопеременных форм, подпространство , обычно обозначается , или, используя обозначение для изоморфной k -й внешней степени ( двойственного пространства ) , . ^[5] Отметим, что линейные функционалы (полилинейные 1-формы над ) тривиально знакопеременны, так что , в то время как, по соглашению, 0-формы определяются как скаляры: . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}V^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(V)={\mathcal {T}}^{1}(V)=V^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{0}(V)={\mathcal {T}}^{0}(V)=\mathbb {R} }$

Определитель матриц , рассматриваемый как функция аргумента векторов-столбцов , является важным примером знакопеременной полилинейной формы. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Внешний вид продукта

Тензорное произведение чередующихся полилинейных форм, в общем случае, больше не чередуется. Однако, суммируя по всем перестановкам тензорного произведения, принимая во внимание четность каждого члена, можно определить внешнее произведение ( , также известное как клиновое произведение ) мультиковекторов, так что если и , то : ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)}$

${\displaystyle (f\wedge g)(v_{1},\ldots ,v_{k+\ell })={\frac {1}{k!\ell !}}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\operatorname {sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\ldots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+\ell )}),}$

где сумма берется по множеству всех перестановок по элементам, . Внешнее произведение является билинейным, ассоциативным и градуированно-переменным: если и , то . ${\displaystyle k+\ell }$ ${\displaystyle S_{k+\ell }}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)}$ ${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f}$

При наличии базиса для и двойственного базиса для внешние произведения , при этом образуют базис для . Следовательно, размерность для n -мерного равна . ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})}$ ${\displaystyle V^{*}={\mathcal {A}}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \phi ^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \phi ^{i_{k}}}$ ${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$

Дифференциальные формы

Дифференциальные формы — это математические объекты, построенные с помощью касательных пространств и полилинейных форм, которые ведут себя во многих отношениях как дифференциалы в классическом смысле. Хотя концептуально и вычислительно полезны, дифференциалы основаны на плохо определенных понятиях бесконечно малых величин, разработанных на ранней стадии истории исчисления . Дифференциальные формы предоставляют математически строгую и точную основу для модернизации этой давней идеи. Дифференциальные формы особенно полезны в многомерном исчислении (анализе) и дифференциальной геометрии , поскольку они обладают свойствами преобразования, которые позволяют интегрировать их на кривых, поверхностях и их аналогах более высокого порядка ( дифференцируемых многообразиях ). Одним из далеко идущих приложений является современная формулировка теоремы Стокса , широкое обобщение фундаментальной теоремы исчисления на более высокие измерения.

Приведенный ниже синопсис в первую очередь основан на работах Спивака (1965) ^[6] и Ту (2011). ^[3]

Определение дифференциальных k-форм и построение 1-форм

Чтобы определить дифференциальные формы на открытых подмножествах , нам сначала нужно понятие касательного пространства для , обычно обозначаемого или . Векторные пространства удобнее всего определить как множество элементов ( , с фиксированным ) с векторным сложением и скалярным умножением, определяемыми и , соответственно. Более того, если — стандартный базис для , то — аналогичный стандартный базис для . Другими словами, каждое касательное пространство можно просто рассматривать как копию (набора касательных векторов), основанную на точке . Совокупность (непересекающееся объединение) касательных пространств для вообще известна как касательное расслоение и обычно обозначается . Хотя данное здесь определение дает простое описание касательного пространства для , существуют другие, более сложные конструкции, которые лучше подходят для определения касательных пространств гладких многообразий в целом ( подробнее см. в статье о касательных пространствах ). ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v_{p}+w_{p}:=(v+w)_{p}}$ ${\displaystyle a\cdot (v_{p}):=(a\cdot v)_{p}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle ((e_{1})_{p},\ldots ,(e_{n})_{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\mathbb {R} ^{n}:=\bigcup _{p\in \mathbb {R} ^{n}}\mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Дифференциальная -форма на определяется как функция , которая сопоставляет каждому -ковектору на касательном пространстве в точке , обычно обозначаемом . Короче говоря, дифференциальная -форма является -ковекторным полем. Пространство -форм на обычно обозначается ; таким образом, если является дифференциальной -формой ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ , мы пишем . По соглашению, непрерывная функция на является дифференциальной 0-формой: . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega _{p}:=\omega (p)\in {\mathcal {A}}^{k}(\mathbb {R} _{p}^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(U)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C^{0}(U)=\Omega ^{0}(U)}$

Сначала мы строим дифференциальные 1-формы из 0-форм и выводим некоторые из их основных свойств. Чтобы упростить обсуждение ниже, мы будем рассматривать только гладкие дифференциальные формы, построенные из гладких ( ) функций. Пусть будет гладкой функцией. Мы определяем 1-форму на для и как , где — полная производная от при . (Напомним, что полная производная — это линейное преобразование.) Особый интерес представляют проекционные отображения (также известные как координатные функции) , определяемые как , где — i -я стандартная координата от . 1-формы известны как основные 1-формы ; они условно обозначаются . Если стандартные координаты равны , то применение определения дает , так что , где — символ Кронекера . ^[7] Таким образом, как двойственный к стандартному базису для , образует базис для . Как следствие, если — 1-форма на , то можно записать как для гладких функций . Более того, мы можем вывести выражение для , которое совпадает с классическим выражением для полного дифференциала: ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (df)_{p}(v_{p}):=Df|_{p}(v)}$ ${\displaystyle Df|_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\pi ^{i}}$ ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx_{p}^{i}(v_{p})=v^{i}}$ ${\displaystyle dx_{p}^{i}((e_{j})_{p})=\delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle (dx_{p}^{1},\ldots ,dx_{p}^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{1}(\mathbb {R} _{p}^{n})=(\mathbb {R} _{p}^{n})^{*}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\textstyle \sum a_{i}\,dx^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df}$

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}D_{i}f\;dx^{i}={\partial f \over \partial x^{1}}\,dx^{1}+\cdots +{\partial f \over \partial x^{n}}\,dx^{n}.}$

[ Комментарии к обозначениям: В этой статье мы следуем соглашению из тензорного исчисления и дифференциальной геометрии, в котором мульвивекторы и мультиковекторы записываются с нижними и верхними индексами соответственно. Поскольку дифференциальные формы являются полями мультиковекторов, верхние индексы используются для их индексации. ^[3] Противоположное правило применяется к компонентам мульвивекторов и мультиковекторов, которые вместо этого записываются с верхними и нижними индексами соответственно. Например, мы представляем стандартные координаты вектора как , так что в терминах стандартного базиса . Кроме того, верхние индексы, появляющиеся в знаменателе выражения (как в ), рассматриваются как нижние индексы в этом соглашении. Когда индексы применяются и интерпретируются таким образом, количество верхних индексов за вычетом количества нижних индексов в каждом члене выражения сохраняется как внутри суммы, так и через знак равенства, что является полезным мнемоническим приемом и помогает выявлять ошибки, допущенные во время ручных вычислений.] ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (v^{1},\ldots ,v^{n})}$ ${\textstyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

Базовые операции над дифференциальными k-формами

Внешнее произведение ( ) и внешняя производная ( ) являются двумя фундаментальными операциями над дифференциальными формами. Внешнее произведение -формы и -формы является -формой, в то время как внешняя производная -формы является -формой . Таким образом, обе операции порождают дифференциальные формы более высокой степени из дифференциальных форм более низкой степени. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (k+\ell )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$

Внешнее произведение дифференциальных форм является частным случаем внешнего произведения мультиковекторов в общем случае ( см. выше ). Как и в общем случае для внешнего произведения, внешнее произведение дифференциальных форм является билинейным, ассоциативным и градуированно-альтернирующим . ${\displaystyle \wedge :\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U)}$

Более конкретно, если и , то ${\displaystyle \omega =a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$ ${\displaystyle \eta =a_{j_{1}\ldots i_{\ell }}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}}$

${\displaystyle \omega \wedge \eta =a_{i_{1}\ldots i_{k}}a_{j_{1}\ldots j_{\ell }}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{\ell }}.}$

Более того, для любого набора индексов , ${\displaystyle \{\alpha _{1}\ldots ,\alpha _{m}\}}$

${\displaystyle dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}=-dx^{\alpha _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{q}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{p}}\wedge \cdots \wedge dx^{\alpha _{m}}.}$

Если , и , то индексы можно расположить в порядке возрастания с помощью (конечной) последовательности таких обменов. Поскольку , следует, что . Наконец, как следствие билинейности, если и являются суммами нескольких членов, их внешнее произведение подчиняется дистрибутивности относительно каждого из этих членов. ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle J=\{j_{1},\ldots ,j_{\ell }\}}$ ${\displaystyle I\cap J=\varnothing }$ ${\displaystyle \omega \wedge \eta }$ ${\displaystyle dx^{\alpha }\wedge dx^{\alpha }=0}$ ${\displaystyle I\cap J\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \omega \wedge \eta =0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \eta }$

Совокупность внешних произведений базисных 1-форм образует базис для пространства дифференциальных k -форм. Таким образом, любую можно записать в виде ${\displaystyle \{dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(U)}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}a_{i_{1}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},\qquad (*)}$

где — гладкие функции. При каждом наборе индексов, расположенных в порядке возрастания, (*) называется стандартным представлением . ${\displaystyle a_{i_{1}\ldots i_{k}}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle \omega }$

В предыдущем разделе 1-форма была определена путем взятия внешней производной 0-формы (непрерывной функции) . Теперь мы расширим это, определив оператор внешней производной для . Если стандартное представление -формы задается как (*), -форма определяется как ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{k}(U)\to \Omega ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle d\omega }$

${\displaystyle d\omega :=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}da_{i_{1}\ldots i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}.}$

Свойство , которое справедливо для всех гладких форм, состоит в том, что вторая внешняя производная любой тождественно равна нулю: . Это можно установить непосредственно из определения и равенства смешанных частных производных второго порядка функций ( подробнее см. в статье о замкнутых и точных формах ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d^{2}\omega =d(d\omega )\equiv 0}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Интеграция дифференциальных форм и теорема Стокса для цепей

Чтобы интегрировать дифференциальную форму по параметризованной области, нам сначала нужно ввести понятие обратного хода дифференциальной формы. Грубо говоря, когда дифференциальная форма интегрируется, применение обратного хода преобразует ее таким образом, что это правильно учитывает изменение координат.

При наличии дифференцируемой функции и -формы мы называем обратный образ функцией и определяем ее как -форму, такую ​​что ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle f^{*}\eta \in \Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle (f^{*}\eta )_{p}(v_{1p},\ldots ,v_{kp}):=\eta _{f(p)}(f_{*}(v_{1p}),\ldots ,f_{*}(v_{kp})),}$

для , где находится карта . ${\displaystyle v_{1p},\ldots ,v_{kp}\in \mathbb {R} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle f_{*}:\mathbb {R} _{p}^{n}\to \mathbb {R} _{f(p)}^{m}}$ ${\displaystyle v_{p}\mapsto (Df|_{p}(v))_{f(p)}}$

Если является -формой на (т.е. ), мы определяем ее интеграл по единичной -ячейке как повторный интеграл Римана от : ${\displaystyle \omega =f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{[0,1]^{n}}\omega =\int _{[0,1]^{n}}f\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}:=\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

Далее мы рассмотрим область интегрирования, параметризованную дифференцируемой функцией , известную как n -куб . Чтобы определить интеграл по , мы «отступаем» от к единичной n -ячейке: ${\displaystyle c:[0,1]^{n}\to A\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n}(A)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \int _{c}\omega :=\int _{[0,1]^{n}}c^{*}\omega .}$

Для интеграции по более общим областям мы определяем -цепь как формальную сумму -кубов и устанавливаем ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ ${\textstyle C=\sum _{i}n_{i}c_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{C}\omega :=\sum _{i}n_{i}\int _{c_{i}}\omega .}$

Соответствующее определение - цепи , известной как граница , ^[8] позволяет нам сформулировать знаменитую теорему Стокса (теорему Стокса–Картана) для цепей в подмножестве : ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Если — ${\displaystyle \omega }$ гладкая -форма на открытом множестве и — гладкая -цепь в , то . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \int _{C}d\omega =\int _{\partial C}\omega }$

Используя более сложную технику (например, ростки и деривации ), можно определить касательное пространство любого гладкого многообразия (не обязательно вложенного в ). Аналогично, дифференциальная форма на общем гладком многообразии является отображением . Теорему Стокса можно далее обобщить на произвольные гладкие многообразия с границей и даже на некоторые «грубые» области ( подробнее см. статью о теореме Стокса ). ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle \omega :p\in M\mapsto \omega _{p}\in {\mathcal {A}}^{k}(T_{p}M)}$

Смотрите также

• Билинейная карта
• Внешняя алгебра
• Однородный многочлен
• Линейная форма
• Многолинейная карта

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Мультилинейная форма». MathWorld .
2. Многие авторы используют противоположное соглашение, записывая для обозначения контравариантных k -тензоров на и для обозначения ковариантных k -тензоров на . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(V)}$ ${\displaystyle V}$
3. Tu, Loring W. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Springer. стр. 22–23. ISBN 978-1-4419-7399-3.
4. Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Ван Ностранд. п. 50. ISBN 0-387-90093-4.
5. Спивак использует для пространства -ковекторов на . Однако это обозначение чаще всего используется для пространства дифференциальных -форм на . В этой статье мы используем для обозначения последнего. ${\displaystyle \Omega ^{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(V)}$
6. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях. WA Benjamin, Inc. стр. 75–146. ISBN 0805390219.
7. Дельта Кронекера обычно обозначается и определяется как . Здесь обозначение используется для соответствия соглашению тензорного исчисления об использовании верхних и нижних индексов. ${\displaystyle \delta _{ij}=\delta (i,j)}$ ${\textstyle \delta :X\times X\to \{0,1\},\ (i,j)\mapsto {\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$
8. Формальное определение границы цепи несколько запутано и здесь опущено ( см. Spivak 1965, стр. 98–99 для обсуждения ). Интуитивно, если отображается в квадрат, то является линейной комбинацией функций, которая отображается на его края против часовой стрелки. Граница цепи отличается от понятия границы в топологии точечных множеств. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \partial C}$