Полиномы Чебышева

Полиномиальная последовательность

График полинома Чебышева первого рода T n(x) с n=5 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Полиномы Чебышева представляют собой две последовательности полиномов , связанных с функциями косинуса и синуса , обозначенные как и . Их можно определить несколькими эквивалентными способами, один из которых начинается с тригонометрических функций : ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$

Полиномы Чебышева первого рода определяются следующим образом: ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).}$

Аналогично полиномы Чебышева второго рода определяются формулой: ${\displaystyle U_{n}}$

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.}$

То, что эти выражения определяют полиномы, может быть неочевидным на первый взгляд, но это становится очевидным, если переписать и использовать формулу де Муавра или многократно использовать формулы суммы углов для и . Например, формулы двойного угла , которые следуют непосредственно из формул суммы углов, могут использоваться для получения и , которые соответственно являются полиномом в и полиномом в, умноженным на . Отсюда и . ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos(n\theta )}$ ${\displaystyle \sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$ ${\displaystyle U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

Важным и удобным свойством Tn ( x ) является то _, что они ортогональны относительно скалярного произведения :

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$

и Un ( x ) ортогональны относительно другого аналогичного скалярного произведения, приведенного ниже _.

Полиномы Чебышева T _n — это многочлены с максимально возможным старшим коэффициентом, абсолютное значение которого на интервале [−1, 1] ограничено 1. Они также являются «экстремальными» полиномами для многих других свойств. ^[1]

В 1952 году Корнелиус Ланцош показал, что полиномы Чебышева важны в теории приближений для решения линейных систем; ^[2] корни Tn ₍ x ) , которые также называются узлами Чебышёва , используются в качестве точек совмещения для оптимизации полиномиальной интерполяции . Полученный интерполяционный полином минимизирует проблему феномена Рунге и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению непрерывной функции при максимальной норме , также называемой « минимаксным » критерием. Это приближение приводит непосредственно к методу квадратур Кленшоу – Кертиса .

Эти многочлены были названы в честь Пафнутия Чебышева . ^[3] Буква Т используется из-за альтернативной транслитерации имени Чебышев как Чебышев , Чебышев (французский) или Чебышев (немецкий).

Определения

Определение повторения

График первых пяти T _n полиномов Чебышева (первого рода)

Полиномы Чебышева первого рода получаются из рекуррентного соотношения :

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Рекуррентность также позволяет явно представить их как определитель трехдиагональной матрицы размера : ${\displaystyle k\times k}$

${\displaystyle T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}}$

Обычная производящая функция для T _n :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$

Есть несколько других производящих функций для полиномов Чебышева; экспоненциальная производящая функция :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$

Производящая функция, актуальная для двумерной теории потенциала и мультипольного расширения :

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$

График первых пяти _{полиномов} Чебышева (второго рода)

Полиномы Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Обратите внимание , что два набора рекуррентных отношений идентичны, за исключением vs. Обычная производящая функция _для Un : ${\displaystyle T_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$

и экспоненциальная производящая функция:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).}$

Тригонометрическое определение

Как описано во введении, полиномы Чебышева первого рода можно определить как уникальные полиномы, удовлетворяющие:

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}}$

или, другими словами, как уникальные многочлены, удовлетворяющие:

${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}$

для n = 0, 1, 2, 3, … .

Полиномы второго рода удовлетворяют:

${\displaystyle U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),}$

или

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$

которое структурно очень похоже на ядро ​​Дирихле D _n ( x ) :

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}$

(Фактически ядро ​​Дирихле совпадает с тем, что сейчас известно как полином Чебышева четвертого рода.)

Эквивалентный способ выразить это — возвести в степень комплексное число : дано комплексное число z = a + bi с абсолютным значением, равным единице:

${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).}$

В таком виде полиномы Чебышева можно определить при изучении тригонометрических полиномов . ^[4]

То, что cos nx является полиномом n -й степени от cos x , можно увидеть, заметив, что cos nx является действительной частью одной стороны формулы де Муавра :

${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$

Действительная часть другой стороны представляет собой многочлен от cos x и sin x , в котором все степени sin x четны и , следовательно, заменяемы тождеством cos ² x + sin ² x = 1 . По тем же соображениям sin nx — это мнимая часть многочлена, в которой все степени sin x нечетны , и, таким образом, если выбросить один множитель sin x , остальные множители можно заменить, чтобы получить ( n −1 ) полином первой степени по cos x .

Определение коммутирующих полиномов

Полиномы Чебышева также можно охарактеризовать следующей теоремой: ^[5]

Если - семейство монических полиномов с коэффициентами в поле характеристики такими, что и для всех и , то с точностью до простой замены переменных либо для всех , либо для всех . ${\displaystyle F_{n}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$ ${\displaystyle F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=2*T_{n}(x/2)}$ ${\displaystyle n}$

Определение уравнения Пелла

Полиномы Чебышева также можно определить как решения уравнения Пелля :

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1}$

в кольце R [ x ] . ^[6] Таким образом, их можно генерировать стандартным для уравнений Пелля методом возведения степеней фундаментального решения:

${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.}$

Соотношения между двумя видами полиномов Чебышева

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре последовательностей Люка Ṽ _n ( P , Q ) и Ũ _n ( P , Q ) с параметрами P = 2 x и Q = 1 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что они также удовлетворяют паре взаимных рекуррентных уравнений: ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}}$

Второй из них можно переставить, используя определение рекуррентности для полиномов Чебышева второго рода, чтобы получить:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.}$

Итеративное использование этой формулы дает формулу суммы:

${\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)-1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}}$

при замене и использовании формулы производной для дает рекуррентное соотношение для производной : ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle 2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots }$

Это соотношение используется в спектральном методе Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенства Турана для полиномов Чебышева: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}}$

Интегральные соотношения таковы ^{[7] : 187(47)(48)  [9} ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{(y-x){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\\int _{-1}^{1}{\frac {{\sqrt {1-y^{2}}}\,U_{n-1}(y)}{y-x}}\,\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}$

где интегралы рассматриваются как главное значение.

Явные выражения

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к разным явным выражениям. Тригонометрическое определение дает явную формулу следующего вида:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$

Из этой тригонометрической формы определение рекуррентности можно восстановить путем непосредственного вычисления того, что выполняются базовые случаи:

${\displaystyle T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1}$

и

${\displaystyle T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,}$

и что тождество произведения к сумме сохраняется:

${\displaystyle 2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .}$

Используя определение возведения в степень комплексного числа полинома Чебышева, можно вывести следующее выражение:

${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$

Оба эквивалентны, потому что . ${\displaystyle (x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1}$

Явный вид многочлена Чебышева через мономы xk следует из формулы ^де Муавра :

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),}$

где Re обозначает действительную часть комплексного числа. Развернув формулу, получим:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .}$

Действительная часть выражения получается из слагаемых, соответствующих четным индексам. Учитывая и , получаем явную формулу: ${\displaystyle i^{2j}=(-1)^{j}}$ ${\displaystyle \sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}}$

${\displaystyle \cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,}$

что, в свою очередь, означает, что:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.}$

Это можно записать как гипергеометрическую функцию ₂ F ₁ :

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$

с обратным: ^{[10] [11]}

${\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),}$

где штрих перед символом суммирования указывает, что вклад j = 0 необходимо уменьшить вдвое, если он появится.

Родственное выражение для T _n как суммы мономов с биномиальными коэффициентами и степенями двойки:

${\displaystyle T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.}$

Аналогично Un можно выразить через гипергеометрические функции _:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}}$

Характеристики

Симметрия

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

То есть полиномы Чебышева четного порядка обладают четной симметрией и, следовательно, содержат только четные степени x . Полиномы Чебышева нечетного порядка обладают нечетной симметрией и поэтому содержат только нечетные степени x .

Корни и экстремумы

Полином Чебышева любого вида со степенью n имеет n различных простых корней , называемых корнями Чебышева , в интервале [−1, 1] . Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют узлами Чебышева , поскольку они используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что:

${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0}$

можно показать, что корни T _n :

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$

Аналогично , корни Un _:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$

Экстремумы T n на интервале −1 ≤ x ≤ 1 расположены в точках _:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$

Одним из уникальных свойств полиномов Чебышева первого рода является то, что на интервале −1 ≤ x ≤ 1 все экстремумы имеют значения либо −1, либо 1. Таким образом, эти полиномы имеют только два конечных критических значения , что является определяющим свойством Полиномы Шабата . И первый, и второй виды полинома Чебышева имеют экстремумы в конечных точках, определяемые формулой:

${\displaystyle T_{n}(1)=1}$

${\displaystyle T_{n}(-1)=(-1)^{n}}$

${\displaystyle U_{n}(1)=n+1}$

${\displaystyle U_{n}(-1)=(-1)^{n}(n+1).}$

Экстремумы на интервале где расположены при значениях . Это , или где , , и , т. е. и являются относительно простыми числами. ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle d\;|\;2n}$ ${\displaystyle 0<k<d/2}$ ${\displaystyle (k,d)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

В частности, ^{[12] [13]} когда четно: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$если , или и четно. Есть такие значения . ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2+1}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$если и нечетно. Есть такие значения . ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle x}$

Когда нечетно: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$если , или и четно. Есть такие значения . ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$если , или и нечетно. Есть такие значения . ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$

Этот результат был обобщен на решения уравнений , ^[13] и на и для полиномов Чебышева третьего и четвертого рода соответственно. ^[14] ${\displaystyle U_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle V_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle W_{n}(x)\pm 1=0}$

Дифференциация и интеграция

Производные полиномов могут быть непростыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрических формах, можно показать, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$

Последние две формулы могут быть затруднительными в числовом отношении из-за деления на ноль (0/0 неопределенная форма , в частности) при x = 1 и x = −1 . По правилу Лопиталя :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$

В более общем смысле,

${\displaystyle \left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,}$

что очень полезно при численном решении задач на собственные значения .

Также у нас есть:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,}$

где штрих перед символами суммирования означает, что член, вносимый k = 0 , должен быть уменьшен вдвое, если он появляется.

Что касается интегрирования, первая производная T _n означает, что:

${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$

а рекуррентное соотношение для полиномов первого рода, включающих производные, устанавливает, что для n ≥ 2 :

${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.}$

Последнюю формулу можно дополнительно манипулировать, чтобы выразить интеграл от T _n как функцию только полиномов Чебышева первого рода:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}}$

Кроме того, у нас есть:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}}$

Произведения полиномов Чебышева

Полиномы Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению:

${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,}$

что легко доказывается из формулы произведения на сумму для косинуса:

${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$

При n = 1 это приводит к уже известной рекуррентной формуле, просто устроенной по-другому, а при n = 2 она образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных полиномов Чебышева с индексом (в зависимости от четности наименьшего m ), из которого следует четность или нечетность этих полиномов. Из этого разложения произведения можно вывести еще три полезные формулы для оценки полиномов Чебышева:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$

Полиномы второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению:

${\displaystyle T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}}$

(с определением U ₋₁ ≡ 0 по соглашению). Они также удовлетворяют:

${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.}$

для м ≥ п . Для n = 2 эта повторяемость сводится к:

${\displaystyle U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,}$

который устанавливает четность или нечетность четных или нечетных индексированных полиномов Чебышева второго рода в зависимости от того, начинается ли m с 2 или с 3.

Свойства состава и делимости

Тригонометрические определения _{T n и Un} подразумевают _{свойства} композиции или вложенности: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Для T _mn порядок композиции можно изменить на обратный, в результате чего семейство полиномиальных функций T _n станет коммутативной полугруппой относительно композиции.

Поскольку T _m ( x ) делится на x , если m нечетно, отсюда следует, что T _mn ( x ) делится на T _n ( x ) , если m нечетно. Кроме того, U _{mn −1} ( x ) делится на U _{n −1} ( x ) , а в случае, когда m четное, делится на T _n ( x ) U _{n −1} ( x ) .

Ортогональность

И Tn _, и Un образуют последовательность _{ортогональных} многочленов . Полиномы первого рода T _n ортогональны по весу:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$

на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\\\\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\\\{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}}$

Это можно доказать, полагая x = cos θ и используя определяющее тождество T _n (cos θ ) = cos( nθ ) .

Аналогично многочлены второго рода Un ортогональны по весу _:

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$

на интервале [−1, 1] , т.е. имеем:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}}$

(Мера √ 1 − x ² d x с точностью до нормализующей константы представляет собой распределение полукругов Вигнера .)

Эти свойства ортогональности следуют из того факта, что полиномы Чебышева решают дифференциальные уравнения Чебышева :

${\displaystyle (1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}=0,}$

${\displaystyle (1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}=0,}$

которые представляют собой дифференциальные уравнения Штурма–Лиувилля . Общей особенностью таких дифференциальных уравнений является наличие выделенного ортонормированного набора решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева — это решения этих уравнений .)

T _n также удовлетворяет дискретному условию ортогональности :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}}$

где N — любое целое число, большее, чем max( i , j ) , ^[9] и x _k — это N узлов Чебышева (см. выше) T _N ( x ) :

${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.}$

Для многочленов второго рода и любого целого числа N > i + j с одинаковыми узлами Чебышёва x _k существуют аналогичные суммы:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}}$

и без весовой функции:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$

Для любого целого числа N > i + j на основе N нулей UN ₍ x ) :

${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,}$

можно получить сумму:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$

и снова без весовой функции:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$

Минимальная ∞ -норма

Для любого заданного n ≥ 1 среди многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 ( монические многочлены):

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)}$

это тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1] минимально.

Это максимальное абсолютное значение равно:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$

и | ж ( Икс ) | достигает этого максимума ровно n + 1 раз при:

${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$

Доказательство

Предположим, что w _n ( x ) — многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 с максимальным абсолютным значением на интервале [−1, 1] меньше 1 / 2 ^{n  − 1} .

Определять

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)}$

Поскольку в крайних точках T _n имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}}$

Из теоремы о промежуточном значении f _n ( x ) имеет по крайней мере n корней. Однако это невозможно, поскольку f _n ( x ) — многочлен степени n − 1 , поэтому из фундаментальной теоремы алгебры следует, что он имеет не более n − 1 корней.

Примечание

По теореме об равноколебании среди всех полиномов степени ≤  n полином f минимизирует ‖ f ‖ _∞   на [−1, 1] тогда и только тогда, когда существует n + 2 точки −1 ≤ x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 такое, что | ж ( Икс _я ) | знак равно ‖ ж ‖ _∞    .

Конечно, нулевой полином на интервале [−1, 1] может быть аппроксимирован сам по себе и минимизирует ∞ -норму.

Однако выше | ж |   достигает своего максимума только n + 1 раз, поскольку мы ищем лучший многочлен степени n ≥ 1 (поэтому приведенную ранее теорему использовать нельзя).

Полиномы Чебышева как частные случаи более общих семейств полиномов

Полиномы Чебышева являются частным случаем ультрасферических полиномов или полиномов Гегенбауэра , которые сами являются частным случаем полиномов Якоби : ${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}(x)}$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}}$

Полиномы Чебышева также являются частным случаем полиномов Диксона :

${\displaystyle D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,}$

${\displaystyle E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,}$

В частности, когда они связаны соотношениями и . ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)}$

Другие объекты недвижимости

Кривые, заданные y = T _n ( x ) или, что эквивалентно, параметрическими уравнениями y = T _n (cos θ ) = cos nθ , x = cos θ , являются частным случаем кривых Лиссажу с отношением частот, равным n .

Аналогично формуле:

${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),}$

имеем аналогичную формулу:

${\displaystyle T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).}$

Для х ≠ 0 :

${\displaystyle T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}}$

и:

${\displaystyle x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),}$

что следует из того, что это справедливо по определению для x = e ^iθ .

Примеры

Первый вид

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области −1 < x < 1 : плоскость T ₀ , T ₁ , T ₂ , T ₃ , T ₄ и T ₅ .

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода — это OEIS : A028297.

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}$

Второй вид

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области −1 < x < 1 : плоскость U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ , U ₄ и U ₅ . Хотя это и не видно на изображении, U _n (1) = n  + 1 и U _n (−1) = ( n  + 1)(−1) ⁿ .

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода — это OEIS : A053117.

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\end{aligned}}}$

В качестве базового набора

Негладкая функция (вверху) y = − x ³ H (− x ) , где H — ступенчатая функция Хевисайда , и (внизу) 5-я частичная сумма ее разложения Чебышева. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем пространстве Соболева набор полиномов Чебышёва образует ортонормированный базис , так что функция в том же пространстве может быть выражена при −1 ≤ x ≤ 1 через разложение: ^[16]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}$

_{Кроме того, как упоминалось} ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты n могут быть легко определены с помощью применения скалярного произведения . Эта сумма называется рядом Чебышева или разложением Чебышева .

Поскольку ряд Чебышева связан с косинусным рядом Фурье заменой переменных, все теоремы, тождества и т. д., применимые к рядам Фурье, имеют аналог Чебышева. ^[16] Эти атрибуты включают в себя:

• Полиномы Чебышева образуют полную ортогональную систему.
• Ряд Чебышева сходится к f ( x ) , если функция кусочно гладкая и непрерывная . Требование гладкости в большинстве случаев можно ослабить – при условии, что существует конечное число разрывов в f ( x ) и ее производных.
• При разрыве ряд сходится к среднему значению правого и левого пределов.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от рядов Фурье, делают полиномы Чебышева важным инструментом численного анализа ; например, они являются наиболее популярными базисными функциями общего назначения, используемыми в спектральном методе ^[16] , часто в пользу тригонометрических рядов из-за, как правило, более быстрой сходимости для непрерывных функций ( феномен Гиббса все еще остается проблемой).

Пример 1

Рассмотрим разложение Чебышева log(1 +  x ) . Можно выразить:

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.}$

Коэффициенты n можно найти либо с помощью скалярного произведения, либо с помощью условия дискретной ортогональности _. Для внутреннего продукта:

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,}$

который дает:

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}}$

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть вычислен, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для аппроксимированных коэффициентов:

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),}$

где δ _ij — дельта-функция Кронекера , а x _k — N нулей Гаусса–Чебышёва T _N ( x ) :

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).}$

Для любого N эти приблизительные коэффициенты обеспечивают точное приближение функции в точке x _k с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются при N = ∞ , таким образом представляя функцию точно во всех точках в [−1,1] . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.

Это позволяет нам очень эффективно вычислять приблизительные коэффициенты n с _{помощью} дискретного косинусного преобразования :

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).}$

Пример 2

Чтобы привести еще один пример:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}(-1)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}(-1)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}}$

Частичные суммы

Частичные суммы:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)}$

очень полезны при приближении различных функций и при решении дифференциальных уравнений (см. Спектральный метод ). Два распространенных метода определения коэффициентов n — это использование внутреннего продукта _, как в методе Галеркина, и использование коллокации , связанной с интерполяцией .

В качестве интерполянта N коэффициентов ( N  − 1) -й частичной суммы обычно получаются на точках Чебышева–Гаусса–Лобатто ^[17] (или сетке Лобатто), что приводит к минимальной ошибке и позволяет избежать явления Рунге, связанного с равномерным сетка. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома высшего порядка в сумме плюс конечные точки и определяется следующим образом:

${\displaystyle x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.}$

Полином в форме Чебышева

Произвольный полином степени N можно записать через полиномы Чебышева первого рода. ^[9] Такой полином p ( x ) имеет вид:

${\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).}$

Полиномы в форме Чебышева можно оценить с помощью алгоритма Кленшоу .

Семейства полиномов, родственные полиномам Чебышева

Иногда используются полиномы, обозначаемые и тесно связанные с полиномами Чебышева. Они определяются: ^[18] ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$

${\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}$

и удовлетворить:

${\displaystyle C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).}$

А. Ф. Горадам назвал полиномы Вьета–Люкаса полиномами и обозначил их . Он назвал многочлены полиномами Вьета–Фибоначчи и обозначил их . ^[19] Списки обоих наборов полиномов даны в «Математической опере» Виета , глава IX, теоремы VI и VII. ^[20] Полиномы Вьета-Лукаса и Вьета-Фибоначчи реального аргумента с точностью до степени и сдвига индекса в случае последнего равны полиномам Люка и Фибоначчи L _n и F _n мнимого аргумента. ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle v_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle i}$

Сдвинутые полиномы Чебышева первого и второго рода связаны с полиномами Чебышева соотношением: ^[18]

${\displaystyle T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad U_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).}$

Когда аргумент полинома Чебышева удовлетворяет условию 2 x − 1 ∈ [−1, 1], аргумент сдвинутого полинома Чебышева удовлетворяет условию x ∈ [0, 1] . Аналогичным образом можно определить сдвинутые полиномы для общих интервалов [ a , b ] .

Примерно в 1990 году термины «третьего рода» и «четвертого рода» стали использоваться в связи с полиномами Чебышева, хотя полиномы, обозначаемые этими терминами, получили более раннее развитие под названием « полиномы аэродинамического профиля ». По мнению Дж. К. Мейсона и Г. Г. Эллиотта, терминология «третьего рода» и «четвертого рода» возникла благодаря Уолтеру Гаучи «в консультации с коллегами в области ортогональных полиномов». ^[21] Полиномы Чебышева третьего рода определяются как:

${\displaystyle V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)}$

а полиномы Чебышева четвертого рода определяются как:

${\displaystyle W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),}$

где . ^{[21] [22]} В литературе по профилям и обозначаются и . Семейства полиномов , , , и ортогональны относительно весов: ${\displaystyle \theta =\arccos x}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$ ${\displaystyle t_{n}(x)}$ ${\displaystyle u_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}}$

и пропорциональны полиномам Якоби с: ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).}$^[22]

Все четыре семейства удовлетворяют повторению с , где , , , или , но они различаются в зависимости от того, равны ли , , , или . ^[21] ${\displaystyle p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle p_{n}=T_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2x-1}$ ${\displaystyle 2x+1}$

Смотрите также

• фильтр Чебышева
• Кубический корень Чебышева
• Полиномы Диксона
• Полиномы Лежандра
• Полиномы Лагерра
• Полиномы Эрмита
• Минимальный полином 2cos(2pi/n)
• Полиномы Романовского
• Рациональные функции Чебышева
• Теория приближения
• Система Чебфун
• Дискретное преобразование Чебышева
• Неравенство братьев Марковых
• Алгоритм Кленшоу

Рекомендации

1. Ривлин, Теодор Дж. (1974). «Глава 2, Экстремальные свойства». Полиномы Чебышева . Чистая и прикладная математика (1-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. стр. 56–123. ISBN 978-047172470-4.
2. Ланчос, К. (1952). «Решение систем линейных уравнений минимизированными итерациями». Журнал исследований Национального бюро стандартов . 49 (1): 33. doi : 10.6028/jres.049.006 .
3. Полиномы Чебышева были впервые представлены в Чебышеве, Польша (1854 г.). «Теория механизмов, соединённых под псевдонимом параллелограмм». Mémoires des Savants étrangers presentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg (на французском языке). 7 : 539–586.
4. Шеффер, AC (1941). «Неравенства А. Маркова и С. Бернштейна для полиномов и родственных функций». Бюллетень Американского математического общества . 47 (8): 565–579. дои : 10.1090/S0002-9904-1941-07510-5 . ISSN  0002-9904.
5. Ритт, Дж. Ф. (1922). «Простые и составные полиномы». Пер. амер. Математика. Соц . 23 : 51–66. дои : 10.1090/S0002-9947-1922-1501189-9 .
6. Демейер, Йерун (2007). Диофантовы множества над кольцами полиномов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) (докторская диссертация). п. 70. Архивировано из оригинала (PDF) 2 июля 2007 года.
7. Эрдели, Артур ; Магнус, (Ганс Генрих) Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц [на немецком языке] ; Трикоми, Франческо Джакомо ; Бертен, Дэвид; Фулкс, Уотсон Б.; Харви, Альберт Рэймонд; Томсен-младший, Дональд Л.; Вебер, Мария А.; Уитни, Эоин Лэрд [в Викиданных] ; Стампфел, Розмари (1953). Эрдели, Артур (ред.). Высшие трансцендентные функции - Том II - Частично основано на заметках, оставленных Гарри Бейтманом (PDF) . Проект рукописи Бейтмана. Том. II (1-е изд.). Нью-Йорк / Торонто / Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc., с. 184:(3),(4). LCCN  53-5555. Контракт № Н6онр-244 Задание XIV. Номер проектного обозначения: НР 043-045. Приказ № 19546. Архивировано (PDF) из оригинала 9 апреля 2017 года . Проверено 23 июля 2020 г.[1][2] (xvii+1 страница с исправлениями+396 страниц, твердый переплет из красной ткани) (Примечание. Авторские права были продлены Калифорнийским технологическим институтом в 1981 году); Перепечатка: Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Мельбурн, Флорида, США. 1981. ISBN 0-89874-069-X ; Планируемое переиздание в Дувре: ISBN 0-486-44615-8 .  
8. Беккенбах, EF; Зейдель, В.; Сас, Отто (1951), «Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических полиномов», Duke Math. Дж. , 18 : 1–10, номер doi : 10.1215/S0012-7094-51-01801-7, MR  0040487
9. Mason & Handscomb 2002.
10. Коди, WJ (1970). «Обзор практической рациональной и полиномиальной аппроксимации функций». Обзор СИАМ . 12 (3): 400–423. дои : 10.1137/1012082.
11. Матар, Р.Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». Дж. Компьютер. Прил. Математика . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Бибкод : 2006JCoAM.196..596M. дои : 10.1016/j.cam.2005.10.013. S2CID  16476052.
12. Гюрташ, YZ (2017). «Полиномы Чебышева и минимальный многочлен ». Американский математический ежемесячник . 124 (1): 74–78. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.1.74. S2CID  125797961. ${\displaystyle \cos(2\pi /n)}$
13. Вольфрам, Д.А. (2022). «Факторизация многочленов Чебышева первого и второго рода минимальными многочленами ». Американский математический ежемесячник . 129 (2): 172–176. дои : 10.1080/00029890.2022.2005391. S2CID  245808448. ${\displaystyle \cos(2\pi /d)}$
14. Вольфрам, Д.А. (2022). «Факторизация полиномов Чебышева минимальными полиномами ». Бюллетень Австралийского математического общества . arXiv : 2106.14585 . дои : 10.1017/S0004972722000235. ${\displaystyle \cos(2\pi /d)}$
15. Рэйес, Миссури; Тревизан, В.; Ван, П.С. (2005), «Факторизационные свойства полиномов Чебышева», Computers & Mathematics with Applications , 50 (8–9): 1231–1240, doi : 10.1016/j.camwa.2005.07.003
16. Бойд, Джон П. (2001). Чебышев и спектральные методы Фурье (PDF) (второе изд.). Дувр. ISBN 0-486-41183-4. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 года . Проверено 19 марта 2009 г.
17. «Интерполяция Чебышева: Интерактивный тур». Архивировано из оригинала 18 марта 2017 года . Проверено 2 июня 2016 г.
18. Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 778. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
19. Хорадам, AF (2002), «Полиномы Вьета» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 40 (3): 223–232
20. Виет, Франсуа (1646). Francisco Vietae Opera mathematica: in unum Volumen congesta ac recognita / Opera atque Studio Francisco a Schooten (PDF) . Национальная библиотека Франции.
21. Мейсон, JC; Эллиотт, GH (1993), "Почти минимаксная комплексная аппроксимация четырьмя видами полиномиального разложения Чебышева", J. Comput. Прил. Математика. , 46 (1–2): 291–300, doi : 10.1016/0377-0427(93)90303-S
22. Демарэ, Роберт Н.; Бланд, Сэмюэл Р. (1995), «Таблицы свойств полиномов профиля крыла», Справочная публикация НАСА 1343 , Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства.

Источники

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Детте, Хольгер (1995). «Заметка о некоторых своеобразных нелинейных экстремальных явлениях полиномов Чебышева». Труды Эдинбургского математического общества . 38 (2): 343–355. arXiv : математика/9406222 . дои : 10.1017/S001309150001912X. S2CID  16703489.
• Эллиотт, Дэвид (1964). «Вычисление и оценка коэффициентов разложения функции в ряд Чебышева». Математика. Комп . 18 (86): 274–284. дои : 10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 . МР  0166903.
• Ерёменко А.; Лемперт, Л. (1994). «Экстремальная задача для многочленов» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (1): 191–193. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1 . МР  1207536.
• Эрнандес, Массачусетс (2001). «Алгоритмы и приложения аппроксимации Чебышева». Компьютеры и математика с приложениями . 41 (3–4): 433–445. дои : 10.1016/s0898-1221(00)00286-8 .
• Мейсон, Дж. К. (1984). «Некоторые свойства и приложения полинома Чебышева и рациональной аппроксимации». Рациональная аппроксимация и интерполяция . Конспект лекций по математике. Том. 1105. стр. 27–48. дои : 10.1007/BFb0072398 . ISBN 978-3-540-13899-0.
• Мейсон, Дж. К.; Хэндскомб, округ Колумбия (2002). Полиномы Чебышева. Чепмен и Холл/CRC. дои : 10.1201/9781420036114. ISBN 978-1-4200-3611-4.

• Матар, Ричард Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». Журнал вычислительной и прикладной математики . 196 (2): 596–607. arXiv : math/0403344 . Бибкод : 2006JCoAM.196..596M. дои : 10.1016/j.cam.2005.10.013 . S2CID  16476052.
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• Ремес, Юджин. «Об экстремальном свойстве полиномов Чебышева» (PDF) .
• Зальцер, Герберт Э. (1976). «Преобразование интерполяционного ряда в ряды Чебышева по рекуррентным формулам». Математика вычислений . 30 (134): 295–302. дои : 10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 . МР  0395159.
• Скратон, RE (1969). «Решение интегральных уравнений в рядах Чебышева». Математика вычислений . 23 (108): 837–844. дои : 10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 . МР  0260224.
• Смит, Лайл Б. (1966). «Вычисление коэффициентов ряда Чебышева». Комм. АКМ . 9 (2): 86–87. дои : 10.1145/365170.365195 . S2CID  8876563. Алгоритм 277.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Полиномы Чебышева», Математическая энциклопедия , EMS Press

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с полиномами Чебышева, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Чебышева первого рода». Математический мир .
• Мэтьюз, Джон Х. (2003). «Модуль полиномов Чебышева». Кафедра математики. Примечания к курсу Math 340 Numerical Analysis и Math 440 Advanced Numerical Analysis . Фуллертон, Калифорния: Калифорнийский государственный университет. Архивировано из оригинала 29 мая 2007 года . Проверено 17 августа 2020 г. .
• «Чебышевская интерполяция: Интерактивная экскурсия». Математическая ассоциация Америки (МАА)– включает иллюстративный Java-апплет .
• «Численные вычисления с функциями». Проект Чебфун .
• «Есть ли интуитивное объяснение экстремального свойства полиномов Чебышева?». Математическое переполнение . Вопрос 25534.
• «Оценка полинома Чебышева и преобразование Чебышева». Способствовать росту . Математика.