Скобочный полином

В математической области теории узлов скобочный полином ( также известный как скобка Кауфмана ) является полиномиальным инвариантом обрамленных связей . Хотя он не является инвариантом узлов или связей (поскольку он не инвариантен относительно движений Рейдемейстера типа I ), его подходящая «нормализованная» версия дает знаменитый инвариант узла, называемый полиномом Джонса . Скобочный полином играет важную роль в объединении полинома Джонса с другими квантовыми инвариантами . В частности, интерпретация Кауфманом полинома Джонса допускает обобщение на инварианты 3-многообразий .

Скобочный многочлен был открыт Луисом Кауфманом в 1987 году.

Определение

Скобочный полином любой (неориентированной) диаграммы связей , обозначаемый , является полиномом по переменной , характеризующимся тремя правилами: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \langle L\rangle }$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \langle \bigcirc \rangle =1}$, где находится стандартная диаграмма развязывания узла ${\displaystyle \bigcirc }$
• 
• ${\displaystyle \langle \bigcirc \sqcup L\rangle =(-A^{2}-A^{-2})\langle L\rangle }$

Рисунки во втором правиле представляют скобки диаграмм связей, которые различаются внутри диска, как показано, но идентичны снаружи. Третье правило означает, что добавление окружности, не пересекающейся с остальной частью диаграммы, умножает скобку оставшейся диаграммы на . ${\displaystyle -A^{2}-A^{-2}}$

Дальнейшее чтение

• Луис Х. Кауффман, Модели состояний и многочлен Джонса. Топология 26 (1987), № 3, 395--407. (вводит скобочный многочлен)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином в скобках». Математический мир .