Полиномиальное разложение

В математике разложение произведения сумм выражает его как сумму произведений, используя тот факт, что умножение распределяется над сложением. Разложение полиномиального выражения можно получить путем многократной замены подвыражений, которые умножают два других подвыражения, хотя бы одно из которых является сложением, на эквивалентную сумму произведений, продолжая до тех пор, пока выражение не станет суммой (повторяющихся) произведений. При расширении также могут применяться упрощения, такие как группировка схожих терминов или аннулирование терминов. Вместо умножения шаги расширения могут также включать замену степеней суммы членов эквивалентным выражением, полученным из биномиальной формулы ; это сокращенная форма того, что произошло бы, если бы власть рассматривалась как многократное умножение и многократно расширялась. Обычно степени снова вводятся в конечный результат, когда термины включают в себя произведения идентичных символов.

Простыми примерами полиномиальных разложений являются хорошо известные правила.

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}}$

при использовании слева направо. Более общее одношаговое расширение вводит все произведения члена одной из сумм, умножаемых на член другой:

${\displaystyle (a+b+c+d)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz+dx+dy+dz}$

Расширение, которое включает в себя несколько вложенных шагов перезаписи, - это разработка схемы Хорнера для (расширенного) полинома, который она определяет, например

${\displaystyle 1+x(-3+x(4+x(0+x(-12+x\cdot 2))))=1-3x+4x^{2}-12x^{4}+2x^{5}}$.

Противоположный процесс попытки записать расширенный полином в виде произведения называется полиномиальной факторизацией .

Разложение многочлена, записанного в факторизованной форме

Два выражения можно умножить, используя коммутативный закон, ассоциативный закон и распределительный закон. (Чтобы умножить более двух выражений, просто умножайте по 2 за раз)

Чтобы перемножить два фактора, каждое слагаемое первого множителя необходимо умножить на каждое слагаемое другого множителя. Если оба фактора являются биномами , можно использовать правило FOIL , которое означает « Первый внешний внутренний последний » , относящееся к членам , которые умножаются вместе. Например, расширение

${\displaystyle (x+2)(2x-5)\,}$

урожайность

${\displaystyle 2x^{2}-5x+4x-10=2x^{2}-x-10.}$

Расширение (x+y) n

При расширении существует особая связь между коэффициентами членов, записанных в порядке убывания степени x и возрастания степени y . Коэффициентами будут числа в ( n + 1)-й строке треугольника Паскаля (поскольку треугольник Паскаля начинается с номера строки и столбца, равного 0). ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle (x+y)^{n}}$

Например, при расширении получается следующее: ${\displaystyle (x+y)^{6}}$

${\displaystyle {\color {red}1}x^{6}+{\color {red}6}x^{5}y+{\color {red}{15}}x^{4}y^{2}+{\color {red}{20}}x^{3}y^{3}+{\color {red}{15}}x^{2}y^{4}+{\color {red}{6}}xy^{5}+{\color {red}1}y^{6}\,}$

Смотрите также

• Полиномиальная факторизация
• Факторизация
• Полиномиальная теорема

Внешние ссылки

Обсуждение

• Обзор «Алгебры: расширение». Архивировано 10 декабря 2014 г. в Wayback Machine , Университет Акрона.

Онлайн-инструменты

• Развернуть страницу, Quickmath.com
• Онлайн-калькулятор с символьными вычислениями, livephysical.com