Ноль функции

Точка, где значение функции равно нулю

В математике нуль (иногда также называемый корнем ) действительной , комплексной или вообще векторной функции — это элемент области определения , который обращается в нуль при ; то есть функция достигает значения 0 при , или, что эквивалентно, является решением уравнения . [ ^1] Таким образом, «нуль» функции — это входное значение, которое дает на выходе 0. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Корень многочлена — это нуль соответствующей полиномиальной функции . ^[1] Основная теорема алгебры показывает, что любой ненулевой многочлен имеет число корней, не превышающее его степени , и что число корней и степень равны, если рассматривать комплексные корни (или, в более общем смысле, корни в алгебраически замкнутом расширении ), подсчитанные с учетом их кратностей . ^[3] Например, многочлен второй степени, определяемый как, имеет два корня (или нуля), которые равны 2 и 3 . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$ $${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ and }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

Если функция отображает действительные числа в действительные числа, то ее нули являются -координатами точек, где ее график пересекает ось x . Альтернативное название для такой точки в этом контексте - -перехват . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$

Решение уравнения

Каждое уравнение с неизвестным можно переписать как ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

перегруппировав все члены в левой части. Из этого следует, что решения такого уравнения — это в точности нули функции . Другими словами, «ноль функции» — это в точности «решение уравнения, полученное приравниванием функции к 0», и изучение нулей функций — это то же самое, что и изучение решений уравнений. ${\displaystyle f}$

Корни полинома

Каждый действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное число действительных корней (с учетом кратностей ); аналогично, действительный многочлен четной степени должен иметь четное число действительных корней. Следовательно, действительные нечетные многочлены должны иметь по крайней мере один действительный корень (потому что наименьшее нечетное целое число равно 1), тогда как четные многочлены могут не иметь ни одного. Этот принцип можно доказать с помощью теоремы о промежуточном значении : поскольку полиномиальные функции непрерывны , значение функции должно пересекать ноль в процессе изменения с отрицательного на положительное или наоборот (что всегда происходит для нечетных функций).

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры гласит, что каждый многочлен степени имеет комплексные корни, подсчитанные с их кратностями. Недействительные корни многочленов с действительными коэффициентами входят в сопряженные пары. ^[2] Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Вычисление корней

Вычисление корней функций, например, полиномиальных функций , часто требует использования специализированных или аппроксимационных методов (например, метода Ньютона ). Однако некоторые полиномиальные функции, включая все функции степени не выше 4, могут иметь все свои корни, выраженные алгебраически через их коэффициенты (подробнее см. алгебраическое решение ).

Нулевой набор

В различных областях математики нулевое множество функции — это множество всех ее нулей. Точнее, если — вещественная функция ( или, в более общем смысле, функция, принимающая значения в некоторой аддитивной группе ), ее нулевое множество — это , обратный образ в . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$

При той же гипотезе относительно области значений функции, множество уровня функции является нулевым множеством функции для некоторых в области значений ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f.}$

Нулевое множество линейного отображения также известно как его ядро .

Конулевое множество функции является дополнением нулевого множества (т.е. подмножеством, на котором ненулевое значение). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Приложения

В алгебраической геометрии первое определение алгебраического многообразия дается через нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество — это пересечение нулевых множеств нескольких многочленов в кольце многочленов над полем . В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом . ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

В анализе и геометрии любое замкнутое подмножество является нулевым множеством гладкой функции, определенной на всех из . Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В дифференциальной геометрии нулевые множества часто используются для определения многообразий . Важным частным случаем является случай, когда есть гладкая функция от до . Если нуль является регулярным значением , то нулевое множество является гладким многообразием размерности по теореме о регулярном значении . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m=p-n}$

Например, единичная сфера в является нулевым множеством действительной функции . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

Смотрите также

• Теорема Мардена
• Алгоритм поиска корня
• Гипотеза Сендова
• Исчезают в бесконечности
• Переход через ноль
• Нули и полюса

Ссылки

1. "Алгебра - Нули/Корни многочленов". tutorial.math.lamar.edu . Получено 15.12.2019 .
2. Foerster, Paul A. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителя (классическое издание). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . стр. 535. ISBN 0-13-165711-9.
3. "Корни и нули (Алгебра 2, Полиномиальные функции)". Mathplanet . Получено 2019-12-15 .

Дальнейшее чтение

• Вайсштейн, Эрик В. "Root". MathWorld .