Многочлены Шапиро

В математике полиномы Шапиро представляют собой последовательность полиномов , которые впервые были изучены Гарольдом С. Шапиро в 1951 году при рассмотрении величины конкретных тригонометрических сумм . ^[1] В обработке сигналов полиномы Шапиро обладают хорошими автокорреляционными свойствами, а их значения на единичной окружности малы. ^[2] Первые несколько членов последовательности:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+x-x^{2}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\\end{aligned}}}$

где вторая последовательность, обозначенная Q , называется дополнительной к первой последовательности , обозначенной P.

Строительство

Полиномы Шапиро P _n ( z ) могут быть построены из последовательности Голея–Рудина–Шапиро a _n , которая равна 1, если число пар последовательных единиц в двоичном разложении n четное, и −1 в противном случае. Таким образом, a ₀  = 1, a ₁  = 1, a ₂  = 1, a ₃  = −1 и т. д.

Первый ряд Шапиро P _n ( z ) представляет собой частичную сумму порядка 2 ⁿ  − 1 (где n  = 0, 1, 2, ...) степенного ряда

ж ( z ) := а ₀ + а ₁  z + а ₂  z ² + ...

Последовательность Голея–Рудина–Шапиро { a _n } имеет фракталоподобную структуру – например, a _n  =  a _{2 n} – что подразумевает, что подпоследовательность ( a ₀ ,  a ₂ ,  a ₄ , ...) повторяет исходную последовательность { a _n }. Это, в свою очередь, приводит к замечательным функциональным уравнениям, которым удовлетворяет f ( z ).

Вторые или дополнительные полиномы Шапиро Q _n ( z ) могут быть определены в терминах этой последовательности или с помощью соотношения Q _n ( z ) = (1-) ⁿ z ^{2 n -1} P _n (-1/ z ), или с помощью рекурсий

${\displaystyle P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z);}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z).}$

Характеристики

Нули многочлена степени 255

Последовательность дополнительных многочленов Q _{n ,} соответствующая P _{n ,} однозначно характеризуется следующими свойствами:

• (i) Q _n имеет степень 2 ⁿ − 1;
• (ii) все коэффициенты Q _n равны 1 или −1, а его постоянный член равен 1; и
• (iii) тождество | P _n ( z )| ² + | Q _n ( z )| ² = 2 ^{( n  + 1)} выполняется на единичной окружности, где комплексная переменная z имеет абсолютное значение, равное единице.

Наиболее интересным свойством { P _n } является то, что абсолютное значение P _n ( z ) ограничено на единичной окружности квадратным корнем из 2 ^{( n  + 1)} , что имеет порядок нормы L 2 P n . Многочлены с коэффициентами из набора {−1, 1}, максимальный модуль которых на единичной окружности близок к их среднему модулю, полезны для различных приложений в теории связи (например, проектирование антенн и сжатие данных ) . Свойство (iii) показывает, что ( P ,  _Q ) образуют пару Голея .

Эти многочлены имеют дополнительные свойства: ^[3]

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};\,}$

${\displaystyle P_{n+k+1}(z)=P_{n}(z)P_{k}(z^{2^{n+1}})+z^{2^{n}}Q_{n}(z)P_{k}(-z^{2^{n+1}});\,}$

${\displaystyle P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^{n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.\,}$

Смотрите также

• Полиномы Литтлвуда

Примечания

1. Джон Бриллхарт и Л. Карлиц (май 1970 г.). «Заметка о многочленах Шапиро». Труды Американского математического общества . 25 (1). Труды Американского математического общества, т. 25, № 1: 114–118. doi : 10.2307/2036537 . JSTOR  2036537.
2. Somaini, U. (26 июня 1975 г.). «Двоичные последовательности с хорошими корреляционными свойствами». Electronics Letters . 11 (13): 278–279. Bibcode :1975ElL....11..278S. doi :10.1049/el:19750211. Архивировано из оригинала 26 февраля 2019 г.
3. J. Brillhart; JS Lomont; P. Morton (1976). «Циклотомические свойства полиномов Рудина–Шапиро». J. Reine Angew. Math. 288 : 37–65.

Ссылки

• Борвейн, Питер Б. (2002). Вычислительные экскурсии в анализе и теории чисел. Springer. ISBN 978-0-387-95444-8. Получено 30.03.2007 .Глава 4.
• Мендес Франс, Мишель (1990). "Последовательность Рудина-Шапиро, цепь Изинга и складывание бумаги". В Берндт, Брюс К .; Даймонд, Гарольд Г.; Халберстам, Хайни ; и др. (ред.). Аналитическая теория чисел. Труды конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 г. в Иллинойсском университете, Урбана, Иллинойс (США) . Прогресс в математике. Т. 85. Бостон: Birkhäuser. С. 367–390. ISBN 978-0-8176-3481-0. Збл  0724.11010.