Полиномы Коорнвиндера

В математике полиномы Макдональда-Коорнвиндера (также называемые полиномами Коорнвиндера ) представляют собой семейство ортогональных полиномов от нескольких переменных, введенных Коорнвиндером ^[1] и И. Г. Макдональдом ^[2], которые обобщают полиномы Аски-Уилсона . Это полиномы Макдональда, присоединенные к нередуцированной аффинной корневой системе типа ( C^∨
_н, C _n ), и в частности удовлетворяют аналогам гипотез Макдональда . ^[3] Кроме того, Ян Фелипе ван Диен показал, что полиномы Макдональда, связанные с любой классической корневой системой, могут быть выражены как пределы или особые случаи полиномов Макдональда-Коорнвиндера, и нашел полные наборы конкретных коммутирующих разностных операторов, диагонализируемых ими. ^[4] Кроме того, существует большой класс интересных семейств многомерных ортогональных полиномов, связанных с классическими корневыми системами, которые являются вырожденными случаями полиномов Макдональда-Коорнвиндера. ^[5] Полиномы Макдональда-Коорнвиндера также изучались с помощью аффинных алгебр Гекке . ^[6]

Полином Макдональда-Коорнвиндера от n переменных, связанный с разбиением λ, является единственным полиномом Лорана, инвариантным относительно перестановки и инверсии переменных, со старшим мономом x ^λ и ортогональным относительно плотности

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}}$

на единичном торе

${\displaystyle |x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1}$,

где параметры удовлетворяют ограничениям

${\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,}$

и ( x ; q ) _∞ обозначает бесконечный q-символ Похгаммера . Здесь ведущий моном x ^λ означает, что μ ≤ λ для всех членов x ^μ с ненулевым коэффициентом, где μ ≤ λ тогда и только тогда, когда μ ₁ ≤ λ ₁ , μ ₁ + μ ₂ ≤ _{λ 1} + λ ₂ , …, μ ₁ +…+μ _n ≤ _{λ 1} +…+λ _n . При дополнительных ограничениях, что q и t являются действительными и что a , b , c , d являются действительными или, если они комплексные, встречаются в сопряженных парах, заданная плотность положительна.

Цитаты

1. Коорнвиндер 1992.
2. Macdonald 1987, важные особые случаи ^{[ необходима полная цитата ]}
3. ван Диен 1996; Сахи, 1999 г.; Макдональд 2003, Глава 5.3.
4. Ван Диен 1995.
5. Ван Диен 1999.
6. Ноуми 1995; Сахи, 1999 г.; Макдональд 2003.

Ссылки

• Koornwinder, Tom H. (1992), "Полиномы Аски-Уилсона для корневых систем типа BC", Contemporary Mathematics , 138 : 189–204, doi :10.1090/conm/138/1199128, MR  1199128, S2CID  14028685
• ван Диен, Ян Ф. (1996), «Самодвойственные многочлены Коорнвиндера-Макдональда», Inventiones Mathematicae , 126 (2): 319–339, arXiv : q-alg/9507033 , Bibcode : 1996InMat.126..319V, doi : 10.1007/s002220050102, MR  1411136, S2CID  17405644
• Сахи, С. (1999), «Несимметричные многочлены Коорнвиндера и двойственность», Annals of Mathematics , вторая серия, 150 (1): 267–282, arXiv : q-alg/9710032 , doi : 10.2307/121102, JSTOR  121102, MR  1715325, S2CID  8958999
• ван Диен, Ян Ф. (1995), «Коммутирующие разностные операторы с полиномиальными собственными функциями», Compositio Mathematica , 95 : 183–233, arXiv : funct-an/9306002 , MR  1313873
• ван Диен, Ян Ф. (1999), «Свойства некоторых семейств гипергеометрических ортогональных многочленов нескольких переменных», Trans. Amer. Math. Soc. , 351 : 233–70, arXiv : q-alg/9604004 , doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0 , MR  1433128, S2CID  16214156
• Noumi, M. (1995), «Многочлены Макдональда-Корнвиндера и аффинные кольца Гекке», Various Aspects of Hypergeometric Functions , Surikaisekikenkyusho Kokyuroku (на японском языке), т. 919, стр. 44–55, MR  1388325
• Macdonald, IG (2003), Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены , Cambridge Tracts in Mathematics, т. 157, Кембридж: Cambridge University Press, стр. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9, MR  1976581
• Стокман, Джаспер В. (2004), «Конспект лекций по полиномам Коорнвиндера», Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions , Adv. Theory Spec. Funct. Orthogonal Polynomials, Hauppauge, NY: Nova Science Publishers, стр. 145–207, MR  2085855