Полиномы Мейкснера – Поллачека

В математике полиномы Мейкснера–Поллачека представляют собой семейство ортогональных полиномов P^(λ)
_н( x ,φ) введены Мейкснером  (1934), которые с точностью до элементарных замен переменных совпадают с полиномами Поллачека P^λ
_н( x , a , b ) переоткрыт Поллачеком  (1949) в случае λ = 1/2 и позднее обобщен им.

Они определяются

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +ix\\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(\cos \phi ;a,b)={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +i(a\cos \phi +b)/\sin \phi \\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

Примеры

Первые несколько полиномов Мейкснера–Поллачека:

${\displaystyle P_{0}^{(\lambda )}(x;\phi )=1}$

${\displaystyle P_{1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2(\lambda \cos \phi +x\sin \phi )}$

${\displaystyle P_{2}^{(\lambda )}(x;\phi )=x^{2}+\lambda ^{2}+(\lambda ^{2}+\lambda -x^{2})\cos(2\phi )+(1+2\lambda )x\sin(2\phi ).}$

Характеристики

Ортогональность

Полиномы Мейкснера–Поллачека P _m ^(λ) ( x ;φ) ортогональны на действительной прямой относительно весовой функции

${\displaystyle w(x;\lambda ,\phi )=|\Gamma (\lambda +ix)|^{2}e^{(2\phi -\pi )x}}$

а отношение ортогональности определяется выражением ^[1]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )P_{m}^{(\lambda )}(x;\phi )w(x;\lambda ,\phi )dx={\frac {2\pi \Gamma (n+2\lambda )}{(2\sin \phi )^{2\lambda }n!}}\delta _{mn},\quad \lambda >0,\quad 0<\phi <\pi .}$

Рекуррентное соотношение

Последовательность полиномов Мейкснера–Поллачека удовлетворяет рекуррентному соотношению ^[2]

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2{\bigl (}x\sin \phi +(n+\lambda )\cos \phi {\bigr )}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )-(n+2\lambda -1)P_{n-1}(x;\phi ).}$

формула Родригеса

Полиномы Мейкснера–Поллачека задаются формулой, подобной формуле Родригеса ^[3]

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(-1)^{n}}{n!\,w(x;\lambda ,\phi )}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}w\left(x;\lambda +{\tfrac {1}{2}}n,\phi \right),}$

где w ( x ;λ,φ) — весовая функция, указанная выше.

Производящая функция

Полиномы Мейкснера–Поллачека имеют производящую функцию ^[4]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )=(1-e^{i\phi }t)^{-\lambda +ix}(1-e^{-i\phi }t)^{-\lambda -ix}.}$

Смотрите также

• Просеянные полиномы Поллачека

Ссылки

1. Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 213.
2. Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 213.
3. Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 214.
4. Кукук, Лески и Свартау (2010), стр. 215.

• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, г-н  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Pollaczek Polynomials", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Мейкснер, Дж. (1934), «Ортогональная полиномная система с Einer Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion», J. London Math. Соц. , с1-9 : 6–13, дои : 10.1112/jlms/s1-9.1.6
• Поллачек, Феликс (1949), «Sur une обобщение полиномов Лежандра», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 228 : 1363–1365, MR  0030037