полиномы Мотта

В математике полиномы Мотта s _n ( x ) — это полиномы, заданные экспоненциальной производящей функцией:

${\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}$

Они были введены Невиллом Фрэнсисом Моттом , который применил их к проблеме в теории электронов. ^[1]

Поскольку множитель в экспоненте имеет степенной ряд

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

в терминах каталонских чисел коэффициент перед многочленом можно записать как ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle x^{k}}$

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}}$, согласно общей формуле для обобщенных многочленов Аппеля , где сумма берется по всем композициям в положительные нечетные целые числа. Пустое произведение, появляющееся для , равно 1. Специальные значения, где все участвующие каталонские числа равны 1, являются ${\displaystyle n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=n=0}$

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.}$

При дифференцировании рекуррентное соотношение для первой производной становится

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

Первые несколько из них (последовательность A137378 в OEIS )

${\displaystyle s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}$

Полиномы s _n ( x ) образуют связанную последовательность Шеффера для –2 t /(1–t ² ) ^[2]

Явное выражение для них в терминах обобщенной гипергеометрической функции ₃ F ₀ : ^[3]

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})}$

Ссылки

1. Мотт, Н. Ф. (1932). «Поляризация электронов при двойном рассеянии». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера . 135 (827): 429–458 [442]. doi : 10.1098/rspa.1932.0044 . ISSN  0950-1207. JSTOR  95868.
2. Роман, Стивен (1984). Умбральное исчисление. Чистая и прикладная математика. Т. 111. Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. стр. 130. ISBN 978-0-12-594380-2. МР  0741185.Перепечатано издательством Dover, 2005.
3. Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц [на немецком языке] ; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Том III. Нью-Йорк-Торонто-Лондон: McGraw-Hill Book Company, Inc. стр. 251. MR  0066496.