Моделирование полиномиальных и рациональных функций

В статистическом моделировании (особенно в моделировании процессов ) полиномиальные функции и рациональные функции иногда используются в качестве эмпирического метода подгонки кривой .

Модели полиномиальных функций

Полиномиальная функция — это функция, имеющая вид

${\displaystyle y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

где n — неотрицательное целое число , определяющее степень многочлена. Многочлен со степенью 0 — это просто постоянная функция ; со степенью 1 — это прямая ; со степенью 2 — это квадратная ; со степенью 3 — это кубическая и т. д.

Исторически полиномиальные модели являются одними из наиболее часто используемых эмпирических моделей для подгонки кривых .

Преимущества

Эти модели популярны по следующим причинам.

1. Полиномиальные модели имеют простую форму.
2. Полиномиальные модели обладают хорошо известными и понятными свойствами.
3. Полиномиальные модели обладают умеренной гибкостью форм.
4. Полиномиальные модели представляют собой закрытое семейство. Изменения местоположения и масштаба в исходных данных приводят к тому, что полиномиальная модель сопоставляется с полиномиальной моделью. То есть полиномиальные модели не зависят от базовой метрики .
5. Полиномиальные модели просты в использовании с вычислительной точки зрения.

Недостатки

Однако полиномиальные модели также имеют следующие ограничения.

1. Полиномиальные модели имеют плохие интерполяционные свойства. Полиномы высокой степени печально известны своими колебаниями между точными значениями .
2. Полиномиальные модели имеют плохие экстраполяционные свойства. Полиномы могут обеспечивать хорошие соответствия в пределах диапазона данных, но они часто быстро ухудшаются за пределами диапазона данных.
3. Полиномиальные модели имеют плохие асимптотические свойства. По своей природе полиномы имеют конечный отклик для конечных значений x и имеют бесконечный отклик тогда и только тогда, когда значение x бесконечно. Таким образом, полиномы могут не очень хорошо моделировать асимптотические явления.
4. Хотя ни одна процедура не застрахована от компромисса смещения и дисперсии , полиномиальные модели демонстрируют особенно плохой компромисс между формой и степенью. Для моделирования данных со сложной структурой степень модели должна быть высокой, что указывает на то, что соответствующее число оцениваемых параметров также будет высоким. Это может привести к крайне нестабильным моделям.

Если моделирование с помощью полиномиальных функций неэффективно из-за каких-либо из вышеперечисленных ограничений, использование рациональных функций для моделирования может дать лучшее соответствие.

Модели рациональных функций

Рациональная функция — это просто отношение двух полиномиальных функций.

${\displaystyle y={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}}$

где n обозначает неотрицательное целое число, которое определяет степень числителя, а m обозначает неотрицательное целое число, которое определяет степень знаменателя. Для подгонки моделей рациональных функций постоянный член в знаменателе обычно устанавливается равным 1. Рациональные функции обычно идентифицируются по степеням числителя и знаменателя. Например, квадратичная для числителя и кубическая для знаменателя идентифицируются как квадратичная/кубическая рациональная функция. Модель рациональной функции является обобщением полиномиальной модели: модели рациональных функций содержат полиномиальные модели в качестве подмножества (т. е. случай, когда знаменатель является константой).

Преимущества

Модели рациональных функций имеют следующие преимущества:

1. Модели рациональных функций имеют сравнительно простую форму.
2. Модели рациональных функций представляют собой закрытое семейство. Как и в случае с полиномиальными моделями, это означает, что модели рациональных функций не зависят от базовой метрики.
3. Модели рациональных функций могут принимать чрезвычайно широкий диапазон форм, охватывая гораздо более широкий диапазон форм, чем семейство полиномов.
4. Рациональные функциональные модели имеют лучшие интерполяционные свойства, чем полиномиальные модели. Рациональные функции обычно более гладкие и менее колеблющиеся, чем полиномиальные модели.
5. Рациональные функции обладают превосходными экстраполяционными способностями. Рациональные функции обычно можно настроить для моделирования функции не только в пределах области данных, но и так, чтобы они согласовывались с теоретическим/асимптотическим поведением за пределами интересующей области.
6. Модели рациональных функций обладают превосходными асимптотическими свойствами. Рациональные функции могут быть как конечными, так и бесконечными для конечных значений, или конечными или бесконечными для бесконечных значений x . Таким образом, рациональные функции могут быть легко включены в модель рациональных функций.
7. Рациональные функциональные модели часто можно использовать для моделирования сложной структуры с довольно низкой степенью как в числителе, так и в знаменателе. Это, в свою очередь, означает, что потребуется меньше коэффициентов по сравнению с полиномиальной моделью.
8. Рациональные функциональные модели относительно просты в вычислительном отношении. Хотя они являются нелинейными моделями , рациональные функциональные модели являются особенно простыми нелинейными моделями для подгонки.
9. Одной из распространенных трудностей при подгонке нелинейных моделей является поиск адекватных начальных значений. Главным преимуществом моделей рациональных функций является возможность вычисления начальных значений с использованием линейного метода наименьших квадратов . Для этого из набора данных выбираются p точек, где p обозначает количество параметров в рациональной модели. Например, если задана линейная/квадратичная модель

${\displaystyle y={\frac {A_{0}+A_{1}x}{1+B_{1}x+B_{2}x^{2}}},}$

необходимо выбрать четыре репрезентативные точки и выполнить линейную подгонку модели

${\displaystyle y=A_{0}+A_{1}x-B_{1}xy-B_{2}x^{2}y,}$

которое выводится из предыдущего уравнения путем очистки знаменателя. Здесь x и y содержат подмножество точек, а не полный набор данных. Оцененные коэффициенты из этой линейной подгонки используются в качестве начальных значений для подгонки нелинейной модели к полному набору данных.

Этот тип подгонки, при котором переменная отклика появляется с обеих сторон функции, следует использовать только для получения начальных значений для нелинейной подгонки. Статистические свойства подгонок такого типа не очень хорошо изучены.

Подмножество точек должно быть выбрано по всему диапазону данных. Не имеет значения, какие именно точки выбраны, хотя следует избегать очевидных выбросов.

Недостатки

Модели рациональных функций имеют следующие недостатки:

1. Свойства семейства рациональных функций не так хорошо известны инженерам и ученым, как свойства семейства полиномов. Литература по семейству рациональных функций также более ограничена. Поскольку свойства семейства часто не очень хорошо поняты, может быть сложно ответить на следующий вопрос моделирования: учитывая, что данные имеют определенную форму, какие значения следует выбрать для степени числителя и степени знаменателя?
2. Неограниченная рациональная подгонка функции может иногда приводить к нежелательным вертикальным асимптотам из-за корней в полиноме знаменателя. Диапазон значений x , затронутых «разрывом» функции, может быть довольно узким, но такие асимптоты, когда они возникают, являются помехой для локальной интерполяции в окрестности точки асимптоты. Эти асимптоты легко обнаружить с помощью простого графика подогнанной функции по диапазону данных. Эти неприятные асимптоты возникают время от времени и непредсказуемо, но практики утверждают, что выигрыш в гибкости форм стоит того, чтобы рисковать ими, и что такие асимптоты не должны препятствовать выбору моделей рациональных функций для эмпирического моделирования.

Смотрите также

• Методология поверхности отклика
• Аппроксимант Паде

Библиография

• Аткинсон, AC; Донев, AN; Тобиас, RD (2007). Оптимальные экспериментальные проекты с SAS. Oxford University Press. стр. 511+xvi. ISBN 978-0-19-929660-6.
• Бокс, ГЭП и Дрейпер, Норман. 2007. Поверхности отклика, смеси и гребневые анализы , второе издание [ Empirical Model-Building and Response Surfaces , 1987], Wiley.
• Кифер, Джек Карл (1985). LD Brown ; и др. (ред.). Сборник статей III Планирование экспериментов . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96004-3.
• RH Hardin и NJA Sloane , «Новый подход к построению оптимальных проектов», Журнал статистического планирования и вывода, т. 37, 1993, стр. 339-369
• RH Hardin и NJA Sloane , «Компьютерные разработки минимальной (и большей) поверхности отклика: (I) Сфера»
• RH Hardin и NJA Sloane , «Компьютерные разработки минимальной (и большей) поверхности отклика: (II) Куб»
• Гош, С.; Рао, К. Р. , ред. (1996). Планирование и анализ экспериментов . Справочник по статистике. Том 13. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82061-7.
  • Дрейпер, Норман и Лин, Деннис К.Дж. «Конструкции поверхности отклика». С. 343–375. {{cite book}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )
  • Гаффке, Н. и Хайлигерс, Б. «Приближенные планы для полиномиальной регрессии : инвариантность , допустимость и оптимальность ». стр. 1149–1199. {{cite book}}: Отсутствует или пусто |title=( помощь )
• Мелас, Вячеслав Б. (2006). Функциональный подход к оптимальному экспериментальному планированию . Конспект лекций по статистике. Том 184. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98741-5.(Моделирование с помощью рациональных функций)

Исторический

• Жергонн, JD (1815). «Применение метода moindre quarrés a l'interpolation des suite». Анналы чистой и прикладной математики . 6 : 242–252.
• Gergonne, JD (1974) [1815]. «Применение метода наименьших квадратов к интерполяции последовательностей». Historia Mathematica . 1 (4) (Перевод Ральфа Сент-Джона и С.М. Стиглера с французского издания 1815 г.): 439–447. doi : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
• Стиглер, Стивен М. (1974). «Статья Жергонна 1815 года о планировании и анализе экспериментов по полиномиальной регрессии». Historia Mathematica . 1 (4): 431–439. doi : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .
• Смит, Кирстин (1918). «О стандартных отклонениях скорректированных и интерполированных значений наблюдаемой полиномиальной функции и ее константах и ​​о руководстве, которое они дают для правильного выбора распределения наблюдений». Biometrika . 12 (1/2): 1–85. doi :10.1093/biomet/12.1-2.1. JSTOR  2331929.

Внешние ссылки

• Модели рациональных функций

 В статье использованы материалы, являющиеся общественным достоянием Национального института стандартов и технологий.