Полная булева алгебра

В математике полная булева алгебра — это булева алгебра , в которой каждое подмножество имеет супремум (наименьшую верхнюю границу ). Полные булевы алгебры используются для построения булевозначных моделей теории множеств в теории принуждения . Каждая булева алгебра A имеет по существу единственное пополнение, которое является полной булевой алгеброй, содержащей A, такой, что каждый элемент является супремумом некоторого подмножества A. Как частично упорядоченное множество , это пополнение A является пополнением Дедекинда–Макнейла .

В более общем случае, если κ — кардинал , то булева алгебра называется κ-полной, если каждое подмножество мощности, меньшей κ, имеет супремум.

Примеры

Полные булевы алгебры

• Каждая конечная булева алгебра является полной.
• Алгебра подмножеств данного множества является полной булевой алгеброй.
• Регулярные открытые множества любого топологического пространства образуют полную булеву алгебру. Этот пример имеет особое значение, поскольку каждое принудительное частично упорядоченное множество может рассматриваться как топологическое пространство ( база для топологии, состоящая из множеств, которые являются множеством всех элементов, меньших или равных данному элементу). Соответствующая регулярная открытая алгебра может быть использована для формирования булевозначных моделей , которые затем эквивалентны общим расширениям посредством данного принудительного частично упорядоченного множества.
• Алгебра всех измеримых подмножеств σ-конечного мерного пространства по модулю нулевых множеств является полной булевой алгеброй. Когда мерное пространство является единичным интервалом с σ-алгеброй измеримых по Лебегу множеств, булева алгебра называется случайной алгеброй .
• Булева алгебра всех множеств Бэра по модулю разреженных множеств в топологическом пространстве со счетной базой является полной; когда топологическое пространство представляет собой действительные числа, алгебру иногда называют алгеброй Кантора .

Неполные булевы алгебры

• Алгебра всех подмножеств бесконечного множества, которые конечны или имеют конечное дополнение, является булевой алгеброй, но не является полной.
• Алгебра всех измеримых подмножеств пространства с мерой является ℵ ₁ -полной булевой алгеброй, но обычно не является полной.
• Другим примером булевой алгебры, которая не является полной, является булева алгебра P(ω) всех множеств натуральных чисел , факторизованных по идеалу Fin конечных подмножеств. Результирующий объект, обозначаемый P(ω)/Fin, состоит из всех классов эквивалентности множеств натуральных чисел, где соответствующее отношение эквивалентности заключается в том, что два множества натуральных чисел эквивалентны, если их симметрическая разность конечна. Булевы операции определяются аналогично, например, если A и B являются двумя классами эквивалентности в P(ω)/Fin, мы определяем как класс эквивалентности , где a и b являются некоторыми (любыми) элементами A и B соответственно. ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle a\cap b}$

Теперь пусть a ₀ , a ₁ , … — попарно непересекающиеся бесконечные множества натуральных чисел, и пусть A ₀ ,  A ₁ , … — их соответствующие классы эквивалентности в P(ω)/Fin. Тогда, если задана любая верхняя граница X множеств A ₀ ,  A ₁ , … в P(ω)/Fin, мы можем найти меньшую верхнюю границу, удалив из представителя для X один элемент каждого a _n . Следовательно, A _n не имеют супремума.

Свойства полных булевых алгебр

• Каждое подмножество полной булевой алгебры по определению имеет супремум; из этого следует, что каждое подмножество также имеет инфимум (наибольшую нижнюю границу).
• Для полной булевой алгебры оба бесконечных закона дистрибутивности выполняются тогда и только тогда, когда она изоморфна множеству некоторого множества. ^{[ необходима ссылка ]}
• Для полной булевой алгебры справедливы бесконечные законы де Моргана.
• Булева алгебра является полной тогда и только тогда, когда ее стоуново пространство простых идеалов экстремально несвязно .

• Теорема Сикорского о расширении утверждает, что если A является подалгеброй булевой алгебры B , то любой гомоморфизм из A в полную булеву алгебру C может быть расширен до морфизма из B в C.

Завершение булевой алгебры

Завершение булевой алгебры можно определить несколькими эквивалентными способами:

• Пополнение A — это (с точностью до изоморфизма) единственная полная булева алгебра B , содержащая A , такая, что A плотно в B ; это означает, что для каждого ненулевого элемента B существует меньший ненулевой элемент A.
• Пополнение A — это (с точностью до изоморфизма) единственная полная булева алгебра B , содержащая A, такая , что каждый элемент B является супремумом некоторого подмножества A.

Пополнение булевой алгебры A можно построить несколькими способами:

• Пополнение — это булева алгебра регулярных открытых множеств в пространстве Стоуна простых идеалов A. Каждый элемент x из A соответствует открытому множеству простых идеалов, не содержащему x (которое открыто и замкнуто, а следовательно, регулярно).
• Пополнение — это булева алгебра регулярных сечений ^{A . Здесь сеченье — это подмножество U A +} ( ненулевые элементы A ) , такое что если q принадлежит U и p ≤  q  , то p принадлежит U , и называется регулярным , если всякий раз, когда p не принадлежит U , существует некоторое r  ≤  p , такое что U не имеет элементов ≤  r . Каждый элемент p из A соответствует сечению элементов ≤  p .

Если A — метрическое пространство, а B — его пополнение, то любая изометрия из A в полное метрическое пространство C может быть расширена до единственной изометрии из B в C. Аналогичное утверждение для полных булевых алгебр неверно: гомоморфизм из булевой алгебры A в полную булеву алгебру C не обязательно может быть расширен до гомоморфизма (сохраняющего супремум) полных булевых алгебр из пополнения B пространства A в C. (По теореме Сикорского о расширении его можно расширить до гомоморфизма булевых алгебр из B в C , но это, вообще говоря, не будет гомоморфизмом полных булевых алгебр; другими словами, он не обязан сохранять супремум.)

Свободные κ-полные булевы алгебры

Если аксиома выбора не ослаблена, ^[1] свободные полные булевы алгебры, порожденные множеством, не существуют (если множество не конечно). Точнее, для любого кардинала κ существует полная булева алгебра мощности 2κ ^больше , чем κ, которая порождена как полная булева алгебра счетным подмножеством; например, булева алгебра регулярных открытых множеств в пространстве произведений κ ^ω , где κ имеет дискретную топологию. Счетное порождающее множество состоит из всех множеств a _{m , n} для целых чисел m , n , состоящих из элементов x  ∊  κ ^ω таких, что x ( m ) <  x ( n ). (Эта булева алгебра называется коллапсирующей алгеброй , потому что принуждение с ней коллапсирует кардинал κ на ω.)

В частности, забывающий функтор из полных булевых алгебр в множества не имеет левого сопряженного , хотя он непрерывен , а категория булевых алгебр является малополной . Это показывает, что «условие множества решений» в теореме Фрейда о сопряженном функторе является необходимым.

Для заданного множества X можно образовать свободную булеву алгебру A, порождённую этим множеством, а затем взять её пополнение B. Однако B не является «свободной» полной булевой алгеброй, порождённой X (если только X не конечно или AC не опущено), поскольку функция из X в свободную булеву алгебру C в общем случае не может быть расширена до (сохраняющего супремум) морфизма булевых алгебр из B в C.

С другой стороны, для любого фиксированного кардинала κ существует свободная (или универсальная) κ-полная булева алгебра, порожденная любым заданным множеством.

Смотрите также

• Полная решетка
• Полная алгебра Гейтинга

Ссылки

1. Стави, Джонатан (1974), «Модель ZF с бесконечной свободной полной булевой алгеброй», Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149–163, doi :10.1007/BF02757883, S2CID  119543439.

• Джонстон, Питер Т. (1982), Каменные пространства , Cambridge University Press, ISBN 0-521-33779-8
• Коппельберг, Сабина (1989), Монк, Дж. Дональд; Бонне, Роберт (ред.), Справочник по булевой алгебре , т. 1, Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. xx+312, ISBN 0-444-70261-X, МР  0991565
• Монк, Дж. Дональд; Боннет, Роберт, ред. (1989), Справочник по булевой алгебре , т. 2, Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87152-7, МР  0991595
• Монк, Дж. Дональд; Боннет, Роберт, ред. (1989), Справочник по булевой алгебре , т. 3, Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87153-5, МР  0991607
• Владимиров, Д.А. (2001) [1994], «Булева алгебра», Энциклопедия математики , Издательство EMS Press