В математической логике теория является полной , если она непротиворечива и для каждой замкнутой формулы в языке теории либо эта формула, либо ее отрицание доказуемы. То есть для каждого предложения теория содержит предложение или его отрицание, но не оба (то есть либо либо ). Рекурсивно аксиоматизируемые теории первого порядка , которые непротиворечивы и достаточно богаты, чтобы позволить сформулировать общие математические рассуждения, не могут быть полными, как показано в первой теореме Гёделя о неполноте .
Этот смысл полноты отличается от понятия полной логики , которое утверждает, что для каждой теории, которая может быть сформулирована в логике, все семантически допустимые утверждения являются доказуемыми теоремами (для соответствующего смысла «семантически допустимых»). Теорема о полноте Гёделя касается этого последнего вида полноты.
Полные теории замкнуты при ряде условий, внутренне моделирующих Т-схему :
Максимальные непротиворечивые множества являются фундаментальным инструментом в теории моделей классической логики и модальной логики . Их существование в данном случае обычно является прямым следствием леммы Цорна , основанной на идее, что противоречие подразумевает использование только конечного числа посылок. В случае модальных логик набору максимальных непротиворечивых множеств, расширяющих теорию T (замкнутую относительно правила необходимости ) , можно придать структуру модели T , называемую канонической моделью.
Вот некоторые примеры полных теорий:
