В математике , в частности в геометрии инцидентности и особенно в проективной геометрии , полный четырехугольник — это система геометрических объектов, состоящая из любых четырех точек на плоскости , никакие три из которых не лежат на общей прямой , и из шести прямых, соединяющих шесть пар точек. Двойственно , полный четырехугольник — это система из четырех прямых, никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку, и шести точек пересечения этих прямых. Полный четырехугольник был назван тетрастигмом Лахланом (1893), а полный четырехугольник был назван тетраграммой ; эти термины иногда используются до сих пор. Полный четырехугольник также назывался конфигурацией Паша , особенно в контексте тройных систем Штейнера . [1]
Шесть линий полного четырехугольника встречаются парами, образуя три дополнительные точки, называемые диагональными точками четырехугольника. Аналогично, среди шести точек полного четырехугольника есть три пары точек, которые еще не соединены линиями; отрезки прямых, соединяющие эти пары, называются диагоналями . Для точек и линий на евклидовой плоскости диагональные точки не могут лежать на одной прямой, а диагонали не могут иметь одну точку тройного пересечения. В связи с открытием плоскости Фано , конечной геометрии, в которой диагональные точки полного четырехугольника коллинеарны , некоторые авторы дополнили аксиомы проективной геометрии аксиомой Фано о том, что диагональные точки не коллинеарны, [2], в то время как другие были менее ограничительными.
Набор сокращенных выражений для частей полного четырехугольника был введен GB Halsted : Он называет вершины четырехугольника точками , а диагональные точки он называет кодотами . Линии проективного пространства называются прямыми , а в четырехугольнике они называются коннекторами . «Диагональные линии» Коксетера называются противоположными коннекторами Холстедом. Противоположные коннекторы пересекаются в кодоте. Конфигурация полного четырехугольника является тетрастимом . [ 3]
Как системы точек и прямых, в которых все точки принадлежат одному и тому же числу прямых, и все прямые содержат одинаковое число точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации ; в нотации проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4 3 6 2 ), а полный четырехугольник записывается как (6 2 4 3 ), где числа в этой нотации относятся к количеству точек, прямых на точку, прямых и точек на прямую конфигурации. Проективно двойственный полному четырехугольнику четырехугольник является полным четырехугольником, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует единственное проективное преобразование, переводящее одну из двух конфигураций в другую. [4]
Карл фон Штаудт реформировал математические основы в 1847 году с полным четырехугольником, когда он заметил, что «гармоническое свойство» может быть основано на сопутствующих четырехугольнику условиях: когда каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается на линии, то диагонали пересекают линию в проективных гармонически сопряженных позициях. Четыре точки на линии, вытекающие из сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармоническим диапазоном . Благодаря перспективности и проективности гармоническое свойство является стабильным. Развитие современной геометрии и алгебры отмечает влияние фон Штаудта на Марио Пьери и Феликса Клейна .
На евклидовой плоскости четыре линии полного четырехугольника не должны включать в себя ни одной пары параллельных линий, так чтобы каждая пара линий имела точку пересечения.
Уэллс (1991) описывает несколько дополнительных свойств полных четырехугольников, которые включают метрические свойства евклидовой плоскости , а не являются чисто проективными. Средние точки диагоналей коллинеарны и (как доказал Исаак Ньютон ) также коллинеарны с центром коники , которая касается всех четырех прямых четырехугольника. Любые три из прямых четырехугольника образуют стороны треугольника; ортоцентры четырех треугольников, образованных таким образом, лежат на второй прямой, перпендикулярной прямой, проходящей через середины. Описанные окружности этих четырех треугольников пересекаются в точке. Кроме того, три окружности, имеющие диагонали в качестве диаметров, принадлежат общему пучку окружностей [5], осью которого является прямая, проходящая через ортоцентры.
Полярные окружности треугольников полного четырехугольника образуют коаксиальную систему. [6] : стр. 179