Методы Монте-Карло для электронного транспорта

Метод Монте-Карло для электронного транспорта представляет собой полуклассический подход Монте-Карло (МК) к моделированию полупроводникового транспорта. Предполагая, что движение носителей состоит из свободных полетов, прерываемых механизмами рассеяния, компьютер используется для моделирования траекторий частиц, движущихся через устройство под воздействием электрического поля с использованием классической механики . События рассеяния и продолжительность полета частиц определяются с помощью случайных чисел.

Фон

Уравнение переноса Больцмана

Модель уравнения переноса Больцмана была основным инструментом, используемым при анализе переноса в полупроводниках. Уравнение BTE задается как ^{[ необходима цитата ]} :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)\nabla _{r}f+{\frac {qF(r)}{\hbar }}\nabla _{k}f=\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{\mathrm {collision} }}$

${\displaystyle v={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)}$

Функция распределения , f , является безразмерной функцией, которая используется для извлечения всех наблюдаемых интересующих нас величин и дает полное описание распределения электронов как в реальном, так и в k-пространстве . Кроме того, она физически представляет вероятность занятия частицей энергии k в положении r и времени  t . Кроме того, поскольку это семимерное интегро-дифференциальное уравнение (шесть измерений в фазовом пространстве и одно во времени), решение BTE является громоздким и может быть решено в замкнутой аналитической форме при очень специальных ограничениях. Численно решение BTE применяется с использованием либо детерминированного метода, либо стохастического метода. Решение детерминированного метода основано на численном методе на основе сетки, таком как подход сферических гармоник, тогда как Монте-Карло является стохастическим подходом, используемым для решения BTE.

Метод Монте-Карло

Полуклассический метод Монте-Карло — это статистический метод, используемый для получения точного решения уравнения переноса Больцмана, которое включает сложную зонную структуру и процессы рассеяния . Этот подход является полуклассическим по той причине, что механизмы рассеяния рассматриваются квантово-механически с использованием Золотого правила Ферми , тогда как перенос между событиями рассеяния рассматривается с использованием классического понятия частицы. Модель Монте-Карло по сути отслеживает траекторию частицы при каждом свободном полете и выбирает соответствующий механизм рассеяния стохастически. Двумя большими преимуществами полуклассического метода Монте-Карло являются его способность обеспечивать точную квантово-механическую обработку различных отдельных механизмов рассеяния в пределах терминов рассеяния и отсутствие предположений о форме распределения носителей в энергии или k-пространстве. Полуклассическое уравнение, описывающее движение электрона, имеет вид

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)}$

${\displaystyle {\frac {dk}{dt}}={\frac {qF(r)}{\hbar }}}$

где F — электрическое поле, E(k) — дисперсионное соотношение энергии, а k — волновой вектор импульса. Для решения приведенного выше уравнения необходимы глубокие знания зонной структуры (E(k)). Соотношение E(k) описывает, как частица движется внутри устройства, в дополнение к отображению полезной информации, необходимой для транспорта, такой как плотность состояний (DOS) и скорость частицы. Полнозонное соотношение E(K) можно получить с помощью полуэмпирического псевдопотенциального метода. ^[1]

Метод гидродинамической и дрейфовой диффузии

Как модель дрейфовой диффузии (DD), так и гидродинамическая (HD) модели могут быть получены из моментов уравнения переноса Больцмана (BTE) с использованием упрощенного приближения, действительного для устройств с длинным каналом. Схема DD является наиболее классическим подходом и обычно решает уравнение Пуассона и уравнения непрерывности для носителей с учетом компонентов дрейфа и диффузии. В этом подходе предполагается, что время прохождения заряда очень велико по сравнению со временем релаксации энергии. ^[2] С другой стороны, метод HD решает схему DD с помощью уравнений баланса энергии, полученных из моментов BTE. ^{[3] [4]} Таким образом, можно захватить и вычислить физические детали, такие как нагрев носителей и эффект превышения скорости . Излишне говорить, что в моделировании HD требуется точный метод дискретизации, поскольку управляющие уравнения сильно связаны, и приходится иметь дело с большим количеством переменных по сравнению со схемой DD.

Сравнение полуклассических моделей

Средняя скорость носителей для 80 нм нмос, сравнивающая различные полуклассические модели моделирования (a) Vds= 0,3 В (b) Vds= 0,6 В

Точность полуклассических моделей сравнивается на основе BTE путем исследования того, как они решают классическую проблему превышения скорости, ключевой эффект короткого канала (SCE) в транзисторных структурах. По сути, превышение скорости является нелокальным эффектом масштабируемых устройств, который связан с экспериментально наблюдаемым увеличением тока возбуждения и крутизны. ^[5] По мере того, как длина канала становится меньше, скорость больше не насыщается в области сильного поля, но она превышает предсказанную скорость насыщения. Причина этого явления заключается в том, что время прохождения носителей становится сопоставимым со временем релаксации энергии, и поэтому подвижные носители не имеют достаточно времени для достижения равновесия с приложенным электрическим полем путем рассеяния в устройствах с коротким каналом. ^[6] Сводка результатов моделирования (Illinois Tool: MOCA) с моделью DD и HD показана на рисунке рядом. На рисунке (a) показан случай, когда поле недостаточно велико, чтобы вызвать эффект превышения скорости во всей области канала. Обратите внимание, что при таком пределе данные из модели DD хорошо соответствуют модели MC в области без превышения, но модель HD переоценивает скорость в этой области. Превышение скорости наблюдается только вблизи дренажного соединения в данных MC, и модель HD хорошо соответствует этой области. Из данных MC можно заметить, что эффект превышения скорости является резким в области сильного поля, что не включено должным образом в модель HD. Для условий сильного поля, как показано на рисунке (b), эффект превышения скорости почти по всему каналу, а результаты HD и результаты MC очень близки в области канала.

Монте-Карло для полупроводникового транспорта

Структура полосы

Зонная структура описывает связь между энергией (E) и волновым вектором (k). Зонная структура используется для вычисления движения носителей под действием электрического поля, скорости рассеяния и конечного состояния после столкновения. Зонная структура кремния и ее зона Бриллюэна показаны на рисунке ниже, но не существует аналитического выражения, которое удовлетворяло бы всей зоне Бриллюэна . Используя некоторое приближение, существуют две аналитические модели для зонной структуры, а именно параболические и непараболические моды.

Параболическая полосовая структура

Для концепции зонной структуры обычно предполагаются параболические энергетические зоны для простоты. Электроны находятся, по крайней мере, когда они близки к равновесию, вблизи минимумов отношения E(k). Тогда отношение E(k) можно расширить в ряд Тейлора как

${\displaystyle E(k)=E(0)+\left.{\frac {\partial E(k)}{\partial k}}\right|_{\mathrm {k=0} }\cdot k+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}E(k)}{\partial k^{2}}}\cdot k^{2}}$

Поскольку первая производная обращается в нуль в минимуме полосы, то градиент E(k) равен нулю при k = 0. Таким образом,

${\displaystyle E(k)={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}}$

что дает определение эффективного тензора массы

${\displaystyle {\frac {1}{m^{*}}}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E(k)}{\partial k^{2}}}}$

Это выражение справедливо для полупроводника, имеющего изотропную эффективную массу, например GaAs. В случае кремния минимумы зоны проводимости не лежат при k  = 0, а эффективная масса зависит от кристаллографической ориентации минимума как

${\displaystyle E(k)={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{l}^{2}}{m_{l}^{*}}}+{\frac {2k_{t}^{2}}{m_{t}^{*}}}\right)}$

где описывают продольную и поперечную эффективную массу соответственно. ${\displaystyle m_{l}^{*},m_{t}^{*}}$

Непараболическая ленточная структура

Для более высоких приложенных полей носители находятся выше минимума, а дисперсионное соотношение E(k) не удовлетворяет простому параболическому выражению, описанному выше. Эта непараболичность обычно описывается как

${\displaystyle E(1+\alpha E)={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}}$

где — коэффициент непараболичности, определяемый выражением ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {(1-m^{*}/m_{0})^{2}}{E_{g}}}}$

где — масса электрона в вакууме, а Eg — энергетическая щель. ^[7] ${\displaystyle m_{0}}$

Полная структура группы

Для многих приложений непараболическая зонная структура обеспечивает разумное приближение. Однако в случае очень сильного переноса поля, который требует лучшей физической модели полной зонной структуры. Для полнозонного подхода используется численно сгенерированная таблица E(k). Полнозонный подход для моделирования Монте-Карло был впервые использован Карлом Гессом в Университете Иллинойса в Урбане-Шампейне. Этот подход основан на эмпирическом методе псевдопотенциала, предложенном Коэном и Бергстрессером [18]. Полнозонный подход является вычислительно затратным, однако, после улучшения вычислительной мощности, его можно использовать как более общий подход. ^[8]

Типы моделирования Монте-Карло

Одночастичный Монте-Карло

Для этого типа моделирования вводится один носитель, и движение отслеживается в домене, пока он не выйдет через контакт. Затем вводится другой носитель, и процесс повторяется для моделирования ансамбля траекторий. Этот подход в основном полезен для изучения объемных свойств, таких как стационарная скорость дрейфа как функция поля.

Ансамбль Монте-Карло

Вместо одного носителя одновременно моделируется большой ансамбль носителей. Эта процедура, очевидно, является хорошим кандидатом для супервычислений, поскольку можно применять распараллеливание и векторизацию. Кроме того, теперь можно напрямую выполнять усреднение ансамбля. Этот подход подходит для переходных симуляций.

Самосогласованный ансамбль Монте-Карло

Этот метод связывает процедуру ансамбля Монте-Карло с уравнением Пуассона и является наиболее подходящим для моделирования устройств. Обычно уравнение Пуассона решается с фиксированными интервалами для обновления внутреннего поля, чтобы отразить внутреннее перераспределение заряда из-за движения носителей.

Случайный выбор рейса

Вероятность того, что электрон испытает следующее столкновение в течение dt около t, определяется по формуле

${\displaystyle p(t)\,dt=P[k(t)]\exp[-\int _{0}^{t}P[k(t')]\,dt']\,dt}$

где P[k(t)]dt — вероятность того, что электрон в состоянии k претерпит столкновение в течение времени dt. Из-за сложности интеграла в показателе степени непрактично генерировать стохастические свободные полеты с распределением уравнения выше. Чтобы преодолеть эту трудность, люди используют фиктивную схему «саморассеивания». При этом общая скорость рассеяния, включая это саморассеивание, постоянна и равна, скажем, . При случайном выборе, если выбрано саморассеивание, k′ после столкновения совпадает с k, и носитель продолжает свой полет без возмущения. Вводя константу , приведенное выше уравнение сводится к ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle P(k)=\tau _{0}^{-1}}$

${\displaystyle p(t)={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp(-t/\tau _{0}).}$

Случайные числа r можно очень просто использовать для генерации стохастических свободных полетов, длительность которых затем будет задана как . Компьютерное время, используемое для саморассеивания, более чем компенсируется упрощением расчета длительности свободного полета. ^[9] Для повышения скорости расчета времени свободного полета используются несколько схем, таких как «Константная техника» и «Кусочная техника», чтобы минимизировать события саморассеивания. ${\displaystyle t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)}$

Механизмы рассеяния

Общие сведения о физике твердого тела

Важные свойства переноса заряда полупроводниковых приборов, такие как отклонение от закона Ома и насыщение подвижности носителей, являются прямым следствием механизмов рассеяния. Таким образом, для моделирования полупроводниковых приборов очень важно охватить физику таких механизмов. Моделирование полупроводников Монте-Карло в этом смысле является очень мощным инструментом для простоты и точности, с которыми может быть включен почти исчерпывающий массив механизмов рассеяния. Длительность свободных полетов определяется из скоростей рассеяния. В конце каждого полета необходимо выбрать соответствующий механизм рассеяния, чтобы определить конечную энергию рассеянного носителя или, что эквивалентно, его новый импульс и угол рассеяния. В этом смысле можно выделить два широких типа механизмов рассеяния, которые естественным образом вытекают из классической кинетической теории столкновения двух тел:

Упругое рассеяние , при котором энергия частицы сохраняется после рассеяния. Упругое рассеяние, таким образом, изменит только направление импульса частицы. Рассеяние на примесях и поверхностное рассеяние являются, с хорошим приближением, двумя хорошими примерами процессов упругого рассеяния.

Неупругое рассеяние , при котором энергия передается между рассеянной частицей и рассеивающим центром. Электрон-фононные взаимодействия по сути неупруги, поскольку фонон определенной энергии либо испускается, либо поглощается рассеянной частицей. Прежде чем охарактеризовать механизмы рассеяния в более подробных математических деталях, важно отметить, что при запуске моделирования полупроводников Монте-Карло приходится иметь дело в основном со следующими типами событий рассеяния: ^[9]

Акустический фонон: Носитель заряда обменивается энергией с акустической модой колебания атомов в кристаллической решетке. Акустические фононы в основном возникают из-за теплового возбуждения кристаллической решетки.

Полярный оптический: носитель заряда обменивается энергией с одной из полярных оптических мод кристаллической решетки. Эти моды отсутствуют в ковалентных полупроводниках. Оптические фононы возникают из-за вибрации друг против друга атомов разных типов, когда в наименьшей элементарной ячейке находится более одного атома, и обычно возбуждаются светом.

Неполярный оптический: Энергия обменивается с оптической модой. Неполярные оптические фононы обычно следует рассматривать в ковалентных полупроводниках и L-долине GaAs.

Эквивалентный междолинный фонон: Из-за взаимодействия с фононом носитель заряда переходит из начальных состояний в конечные состояния, которые принадлежат разным, но эквивалентным долинам. Обычно этот тип механизма рассеяния описывает переход электрона из одной X-долины в другую X-долину или из одной L-долины в другую L-долину. ^[10]

Неэквивалентный междолинный фонон: подразумевает переход носителя заряда между долинами разных типов.

Пьезоэлектрический фонон: для низких температур.

Ионизированная примесь: отражает отклонение частицы от ее баллистической траектории из-за кулоновского взаимодействия с ионизированной примесью в кристаллической решетке. Поскольку масса электрона относительно мала по сравнению с массой примеси, кулоновское сечение быстро уменьшается с разницей модуля импульса между начальным и конечным состоянием. ^[9] Поэтому события рассеяния на примесях в основном рассматриваются для внутридолинного рассеяния, внутризонного рассеяния и, в меньшей степени, межзонного рассеяния.

Носитель-носитель: (взаимодействия электрон-электрон, дырка-дырка и электрон-дырка). Когда концентрация носителей высока, этот тип рассеяния отражает электростатическое взаимодействие между носителями заряда. Эта проблема очень быстро становится вычислительно интенсивной с увеличением числа частиц в ансамблевом моделировании. В этой области алгоритмы Particle-Particle-Particle-Mesh (P3M), которые различают ближнее и дальнее взаимодействие частицы с окружающим ее заряженным газом, оказались эффективными для включения взаимодействия носитель-носитель в полупроводниковое моделирование Монте-Карло. ^[11] Очень часто заряд носителей назначается сетке с использованием метода Cloud-in-Cell, где часть заряда данной частицы назначается заданному числу ближайших точек сетки с определенным весовым коэффициентом.

Плазмон: отражает эффект коллективных колебаний носителей заряда на данной частице.

Включение механизмов рассеяния в Монте-Карло

Вычислительно эффективный подход к включению рассеяния в моделирование Монте-Карло заключается в сохранении скоростей рассеяния отдельных механизмов в таблицах. Учитывая различные скорости рассеяния для точного состояния частицы, можно затем случайным образом выбрать процесс рассеяния в конце свободного полета. Эти скорости рассеяния очень часто выводятся с использованием приближения Борна , в котором событие рассеяния является просто переходом между двумя импульсными состояниями вовлеченного носителя. Как обсуждалось в разделе II-I, квантовая задача многих тел, возникающая из-за взаимодействия носителя с его окружающей средой (фононы, электроны, дырки, плазмоны, примеси,...), может быть сведена к задаче двух тел с использованием приближения квазичастиц, которое отделяет интересующий носитель от остальной части кристалла. ^[9] В рамках этих приближений Золотое правило Ферми дает, в первом порядке, вероятность перехода за единицу времени для механизма рассеяния из состояния в состояние : ${\displaystyle |k\rangle }$ ${\displaystyle |k'\rangle }$

${\displaystyle S(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle k|H'|k'\rangle \right|^{2}\cdot \delta (E-E')}$

где H' - гамильтониан возмущения, представляющий столкновение, а E и E′ - соответственно начальная и конечная энергии системы, состоящей как из носителя, так и из электронного и фононного газа. Функция Дирака означает сохранение энергии. Кроме того, термин , обычно называемый матричным элементом, математически представляет собой внутреннее произведение начальной и конечной волновых функций носителя: ^[12] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \langle k|H'|k'\rangle }$

${\displaystyle \langle k|H'|k'\rangle ={\frac {1}{Vol}}\int _{\mathrm {Vol} }\psi _{k}(r)H'\psi _{k'}^{*}(r)\,dr}$

В кристаллической решетке волновые функции и являются просто волнами Блоха . Когда это возможно, аналитическое выражение элементов матрицы обычно находится путем разложения гамильтониана H' в ряд Фурье, как в случае рассеяния примесей ^[13] или рассеяния акустических фононов. ^[14] В важном случае перехода из энергетического состояния E в энергетическое состояние E' из-за фонона с волновым вектором q и частотой изменение энергии и импульса равно: ${\displaystyle \psi _{k}(r)}$ ${\displaystyle \psi _{k'}(r)}$ ${\displaystyle \omega _{q}}$

${\displaystyle E'-E=E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}\,}$

${\displaystyle k'-k\pm q={\begin{cases}0&{\text{ }}\\R&{\text{Umklapp-process}}\end{cases}}}$

где R — вектор обратной решетки . Процессы переброса (или U-процессы) изменяют импульс частицы после рассеяния и, следовательно, ограничивают проводимость в полупроводниковых кристаллах. Физически U-процессы происходят, когда конечный импульс частицы указывает из первой зоны Бриллюэна. Как только известна вероятность рассеяния за единицу времени из состояния k в состояние k', интересно определить скорость рассеяния для данного процесса рассеяния. Скорость рассеяния дает вероятность за единицу времени рассеяться из состояния k в любое другое состояние в обратном пространстве. Поэтому скорость рассеяния равна

${\displaystyle \lambda (k)=\sum _{k'}S(k,k')}$

которые можно легко использовать для определения времени свободного полета и процесса рассеяния, как обсуждалось в разделе 3-3. Важно отметить, что эта скорость рассеяния будет зависеть от зонной структуры материала (зависимость возникает из матричных элементов).

Выбор режима рассеяния и траектории рассеяния

В конце свободного полета необходимо случайным образом выбрать режим и угол рассеяния. Чтобы определить механизм рассеяния, необходимо рассмотреть все скорости рассеяния механизмов, имеющих отношение к моделированию, а также общую скорость рассеяния на момент рассеяния. Выбор механизма рассеяния затем просто приводит к генерации равномерно распределенного случайного числа 0 < r < 1 и ссылается на следующие правила ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&<{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}1\\r&<{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}2\\&{}\ \vdots \\r&<{\frac {\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}n\end{aligned}}}$

Вычислительно эффективный подход к выбору механизма рассеяния заключается в добавлении «пустого» механизма рассеяния, который остается постоянным с течением времени. Если частица рассеивается в соответствии с этим механизмом, она сохранит свою баллистическую траекторию после того, как произойдет рассеяние. Чтобы выбрать новую траекторию, нужно сначала вывести энергию ( или импульс ) частицы после рассеяния ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {tot} }}$

${\displaystyle E(k')=E(k)\pm \hbar \omega _{q}\pm \Delta E_{C}\,}$

где член учитывает испускание или поглощение фононов, а член ненулевой для междолинного рассеяния. Конечная энергия (и зонная структура) напрямую дают модуль нового импульса k'. На этом этапе нужно только выбрать новое направление (или угол) для рассеянной частицы. В некоторых простых случаях, таких как рассеяние фононов и параболическое дисперсионное соотношение, угол рассеяния является случайным и равномерно распределенным на сфере радиуса k'. Используя сферические координаты, процесс выбора угла эквивалентен случайному выбору двух углов и . Если угол распределен с распределением , то для равномерного распределения углов вероятность выбрать точку сферы равна ${\displaystyle \hbar \omega _{q}}$ ${\displaystyle \Delta E_{C}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p(\theta ,\psi )}$

${\displaystyle p(\theta ,\psi )\,d\theta d\psi ={\frac {\sin \theta \,d\theta \,d\psi }{4\pi }}}$

В этом случае возможно разделить две переменные. Интегрируя по , затем по , находим ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p(\theta )={\frac {\sin \theta }{2}}}$

${\displaystyle p(\psi )={\frac {1}{2\pi }}}$

Затем два сферических угла можно выбрать в однородном случае, генерируя два случайных числа 0 < r ₁ , r ₂ < 1, такие, что

${\displaystyle r_{1}=\int _{0}^{\psi }p(\psi ')\,d\psi '={\frac {\psi }{2\pi }}}$

${\displaystyle r_{2}=\int _{0}^{\theta }p(\theta ')\,d\theta '={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

Квантовые поправки для моделирования Монте-Карло

Эффекты квантовой коррекции

Текущая тенденция уменьшения масштаба полупроводниковых устройств заставила физиков включить квантово-механические вопросы, чтобы получить полное понимание поведения устройства. Моделирование поведения наномасштабных устройств требует использования полной квантовой транспортной модели, особенно в случаях, когда квантовые эффекты нельзя игнорировать. Однако этого осложнения можно избежать в случае практических устройств, таких как современный МОП-транзистор , применяя квантовые поправки в полуклассической структуре. Затем полуклассическая модель Монте-Карло может быть использована для моделирования характеристик устройства. Квантовые поправки можно включить в симулятор Монте-Карло, просто введя термин квантового потенциала, который накладывается на классический электростатический потенциал, наблюдаемый моделируемыми частицами. Рисунок рядом наглядно изображает основные особенности этой техники. Различные квантовые подходы, доступные для реализации, описаны в следующих подразделах.

Коррекция по методу Вигнера

Уравнение переноса Вигнера формирует основу квантовой поправки, основанной на Вигнере. ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f+\sum _{\alpha =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\alpha +1}}{\hbar 4^{\alpha }(2\alpha +1)!}}\times (\nabla _{r}\nabla _{k})^{2\alpha +1}Vf=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{c}}$

где, k - импульс кристалла, V - классический потенциал, член в правой части - эффект столкновения, четвертый член в левой части представляет нелокальные квантово-механические эффекты. Стандартное транспортное уравнение Больцмана получается, когда нелокальные члены в левой части исчезают в пределе медленных пространственных изменений. Упрощенное (для ) квантово-скорректированное BTE тогда становится ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{c}}$

где квантовый потенциал содержится в термине (должно быть ошибка: никогда не упоминался). ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$

Эффективная коррекция потенциала

Этот метод квантовой коррекции был разработан Фейнманом и Хиббсом в 1965 году. ^{[ необходима цитата ]} В этом методе эффективный потенциал выводится путем вычисления вклада в интеграл пути квантовых флуктуаций частицы вокруг ее классического пути. Этот расчет выполняется вариационным методом с использованием пробного потенциала первого порядка. Эффективный классический потенциал в средней точке на каждом пути тогда становится

${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}a}}\int _{-\infty }^{\infty }V(x')e^{-{\frac {(x'-x)^{2}}{2a^{2}}}}dx'}$

${\displaystyle a^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{12m^{*}k_{B}T}}}$

Коррекция по Шредингеру

Этот подход включает периодическое решение уравнения Шредингера в симуляции, где входными данными является самосогласованный электростатический потенциал. Точные уровни энергии и волновые функции, относящиеся к решению электростатического потенциала, используются для вычисления квантового потенциала. Квантовая поправка, полученная на основе этого метода, может быть визуализирована следующим уравнением

${\displaystyle V_{\mathrm {schr} }(z)=-k_{B}T\cdot \log(n_{q}(z))-V_{p}(z)+V_{0}}$

где V _schr — квантовый корректирующий потенциал, z — направление, перпендикулярное интерфейсу, n _q — квантовая плотность из уравнения Шредингера, которая эквивалентна сходящейся концентрации Монте-Карло, V _p — потенциал из решения Пуассона, V ₀ — произвольный опорный потенциал вдали от квантовой области, такой, что поправка обращается в нуль в области полуклассического поведения. Несмотря на то, что вышеупомянутые потенциалы для квантовой коррекции различаются по методу расчета и основным предположениям, все же, когда дело доходит до их включения в моделирование Монте-Карло, все они включаются одинаково.

Смотрите также

• Метод Монте-Карло
• Полупроводниковый прибор
• Метод Монте-Карло для переноса фотонов
• Электронная структура полосы
• Метод квантовых характеристик
• Квантовый Монте-Карло
• Метод квази-Монте-Карло

Ссылки

1. Карл Хесс, ред. (1991). Моделирование устройств Монте-Карло: полный диапазон и далее . Springer US. doi :10.1007/978-1-4615-4026-7. ISBN 978-1-4615-4026-7.
2. SM Sze; Kwok K. Ng (2007). Физика полупроводниковых приборов (третье изд.). John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-14323-9.
3. Choi, WS; Ahn, J.-K.; Park, Y.-J.; Min, H.-S.; Hwang., C.-G. (1994). "Гидродинамический симулятор устройства с временной зависимостью SNU-2D с новой схемой и алгоритмом дискретизации". IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems . 13 (7). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 899–908. doi :10.1109/43.293947. ISSN  0278-0070.
4. Forghieri, A.; Guerrieri, R.; Ciampolini, P.; Gnudi, A.; Rudan, M.; Baccarani, G. (1988). «Новая стратегия дискретизации уравнений полупроводников, включающих баланс импульса и энергии». Труды IEEE по автоматизированному проектированию интегральных схем и систем . 7 (2). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 231–242. doi :10.1109/43.3153. ISSN  0278-0070.
5. Sai-Halasz, GA; Wordeman, MR; Kern, DP; Rishton, S.; Ganin, E. (1988). «Высокая проводимость и перерегулирование скорости в NMOS-устройствах на уровне длины затвора 0,1 мкм». IEEE Electron Device Letters . 9 (9). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 464–466. Bibcode : 1988IEDL....9..464S. doi : 10.1109/55.6946. ISSN  0741-3106. S2CID  43748586.
6. Song, JH; Park, YJ; Min, HS (1996). «Усиление тока стока из-за эффектов превышения скорости и его аналитическое моделирование». IEEE Transactions on Electron Devices . 43 (11). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 1870–1875. Bibcode : 1996ITED...43.1870S. doi : 10.1109/16.543021. ISSN  0018-9383.
7. "6.3 Модели зонной структуры кремния".
8. Коэн, Марвин Л.; Бергстрессер, ТК (1966-01-14). «Зонные структуры и псевдопотенциальные форм-факторы для четырнадцати полупроводников структур алмаза и цинковой обманки». Physical Review . 141 (2). Американское физическое общество (APS): 789–796. Bibcode : 1966PhRv..141..789C. doi : 10.1103/physrev.141.789. ISSN  0031-899X.
9. Якобони, Карло; Реджиани, Лино (1983-07-01). «Метод Монте-Карло для решения задачи переноса заряда в полупроводниках с приложениями к ковалентным материалам». Reviews of Modern Physics . 55 (3). Американское физическое общество (APS): 645–705. Bibcode : 1983RvMP...55..645J. doi : 10.1103/revmodphys.55.645. ISSN  0034-6861.
10. "2.5.2.4 Рассеяние фононов между долинами".
11. Р. Хокни, Дж. Иствуд, «Компьютерное моделирование с использованием частиц» McGraw Hill, Гл. 10 (1981)
12. Д.К. Ферри, «Квантовая механика: введение для физиков-приборов и инженеров-электриков», Институт физики, изд. 1, стр. 186 (1995)
13. К. Гесс, «Расширенная теория полупроводниковых приборов» Wiley, изд. 1, стр. 94–95 (1999)
14. К. Гесс, «Расширенная теория полупроводниковых приборов» Wiley, изд. 1, стр. 97–99 (1999)