Общее отношение

Тип логического отношения

В математике бинарное отношение R ⊆ X × Y между двумя множествами X и Y является полным (или левым полным ), если исходный набор X равен области { x  : существует y с xRy }. И наоборот, R называется правой суммой , если Y равен диапазону { y  : существует x с xRy }.

Когда f : X → Y — функция , областью определения f является все X , следовательно, f — тотальное отношение. С другой стороны, если f — частичная функция , то область определения может быть собственным подмножеством X , и в этом случае f не является полным отношением.

«Бинарное отношение считается тотальным по отношению к вселенной дискурса только в том случае, если все в этой вселенной дискурса находится в этом отношении к чему-то другому». ^[1]

Алгебраическая характеристика

Полные отношения могут быть охарактеризованы алгебраически равенствами и неравенствами, включающими композиции отношений . С этой целью пусть - два множества, и пусть Для любых двух множеств пусть - универсальное отношение между и и пусть - тождественное отношение на. Мы используем обозначение для обратного отношения ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle R\subseteq X\times Y.}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle L_{A,B}=A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle I_{A}=\{(a,a):a\in A\}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle R^{\top }}$ ${\displaystyle R.}$

• ${\displaystyle R}$является тотальным тогда и только тогда, когда для любого набора и любого подразумевает ^{[2] : 54} ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S\subseteq W\times X,}$ ${\displaystyle S\neq \emptyset }$ ${\displaystyle SR\neq \emptyset .}$
• ${\displaystyle R}$является полным тогда и только тогда, когда ^{[2] : 54} ${\displaystyle I_{X}\subseteq RR^{\top }.}$
• Если общее, то Обратное верно, если ^{[примечание 1]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• Если общее, то Обратное верно, если ^{[примечание 2] [2] : 63} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• Если общее, то Обратное верно, если ^{[2] : 54  [3]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$
• В более общем смысле, если тотально, то для любого множества и любого. Обратное верно, если ^{[примечание 3] [2] : 57} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z,}$ ${\displaystyle {\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.}$ ${\displaystyle Y\neq \emptyset .}$

Смотрите также

• Серийное отношение — полное однородное отношение.

Примечания

1. Если то будет не тотально. ${\displaystyle Y=\emptyset \neq X,}$ ${\displaystyle R}$
2. Обратите внимание и примените предыдущий пункт. ${\displaystyle {\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},}$
3. Возьмите и обратитесь к предыдущему пункту. ${\displaystyle Z=Y,S=I_{Y}}$

Рекомендации

1. Функции Университета Карнеги-Меллона
2. Шмидт, Гюнтер ; Штрёлайн, Томас (6 декабря 2012 г.). Отношения и графики: дискретная математика для компьютерщиков. Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-642-77968-8.
3. Гюнтер Шмидт (2011). Реляционная математика . Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511778810. ISBN 9780511778810.Определение 5.8, стр. 57.

• Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер (2018) Реляционная топология
• К. Бринк, В. Каль и Г. Шмидт (1997) Реляционные методы в информатике , Достижения в области компьютерных наук, стр. 5, ISBN 3-211-82971-7 
• Гюнтер Шмидт и Томас Стролейн (2012) [1987] Отношения и графики , с. 54, в Google Книгах
• Гюнтер Шмидт (2011) Реляционная математика , с. 57, в Google Книгах