В дифференциальной геометрии полная абсолютная кривизна гладкой кривой — это число, определяемое путем интегрирования абсолютного значения кривизны вокруг кривой. Это безразмерная величина , которая инвариантна относительно преобразований подобия кривой и может быть использована для измерения того, насколько далека кривая от того, чтобы быть выпуклой кривой . [1]
Если кривая параметризована длиной дуги , то полная абсолютная кривизна может быть выражена формулой
где s — параметр длины дуги, а κ — кривизна. Это почти то же самое, что и формула для полной кривизны , но отличается использованием абсолютного значения вместо знаковой кривизны. [2]
Поскольку полная кривизна простой замкнутой кривой в евклидовой плоскости всегда равна точно 2π , полная абсолютная кривизна простой замкнутой кривой также всегда равна по крайней мере 2π . Она равна точно 2π для выпуклой кривой и больше 2π , когда кривая имеет какие-либо невыпуклости. [2] Когда гладкая простая замкнутая кривая подвергается потоку укорачивания кривой , ее полная абсолютная кривизна монотонно уменьшается до тех пор, пока кривая не станет выпуклой, после чего ее полная абсолютная кривизна остается фиксированной на уровне 2π, пока кривая не схлопнется в точку. [3] [4]
Полная абсолютная кривизна может быть также определена для кривых в трехмерном евклидовом пространстве . Опять же, она составляет не менее 2 π (это теорема Фенхеля ), но может быть и больше. Если пространственная кривая окружена сферой, полная абсолютная кривизна сферы равна ожидаемому значению центральной проекции кривой на плоскость, касательную к случайной точке сферы. [5] Согласно теореме Фари–Милнора , каждый нетривиальный гладкий узел должен иметь полную абсолютную кривизну, большую 4 π . [2]
