В теории чисел числовое поле F называется вполне действительным , если для каждого вложения F в комплексные числа изображение лежит внутри действительных чисел . Эквивалентные условия таковы: F порождается над Q одним корнем целочисленного многочлена P , причем все корни P действительны; или что алгебра тензорного произведения F с действительным полем над Q изоморфна тензорной степени R.
Например, квадратичные поля F степени 2 над Q являются либо действительными (и тогда вполне действительными), либо комплексными, в зависимости от того, присоединен ли к Q квадратный корень положительного или отрицательного числа . В случае кубических полей кубический целочисленный многочлен P, неприводимый над Q, будет иметь по крайней мере один действительный корень. Если он имеет один действительный и два комплексных корня, соответствующее кубическое расширение Q, определяемое присоединением действительного корня, не будет вполне действительным, хотя это поле действительных чисел.
Полностью вещественные числовые поля играют важную особую роль в алгебраической теории чисел . Абелево расширение Q либо полностью вещественно, либо содержит полностью вещественное подполе , над которым оно имеет степень два.
Любое числовое поле, являющееся полем Галуа над рациональными числами, должно быть либо полностью действительным, либо полностью мнимым .