Полностью положительная карта

Отображение C*-алгебры, сохраняющее положительные элементы

В математике положительное отображение — это отображение между C*-алгебрами , которое отправляет положительные элементы в положительные элементы. Полностью положительное отображение — это то, которое удовлетворяет более сильному, более надежному условию.

Определение

Пусть и будут C*-алгебрами . Линейное отображение называется положительным отображением, если отображает положительные элементы в положительные элементы: . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi :A\to B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a\geq 0\implies \phi (a)\geq 0}$

Любое линейное отображение индуцирует другое отображение ${\displaystyle \phi :A\to B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

естественным образом. Если отождествляется с C*-алгеброй -матриц с элементами в , то действует как ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$ ${\displaystyle A^{k\times k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \phi }$называется k-положительным, если является положительным отображением, и полностью положительным, если является k-положительным для всех k. ${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Характеристики

• Положительные отображения монотонны, т.е. для всех самосопряженных элементов . ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• Так как для всех самосопряженных элементов , каждое положительное отображение автоматически непрерывно относительно C*-норм и его операторная норма равна . Аналогичное утверждение с приближенными единицами справедливо для неунитальных алгебр. ${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$ ${\displaystyle a\in A_{sa}}$ ${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• Множество положительных функционалов является двойственным конусом конуса положительных элементов . ${\displaystyle \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A}$

Примеры

• Каждый * -гомоморфизм полностью положителен. ^[1]
• Для каждого линейного оператора между гильбертовыми пространствами отображение полностью положительно. ^[2] Теорема Стайнспринга гласит, что все полностью положительные отображения являются композициями *-гомоморфизмов и этих специальных отображений. ${\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• Каждый положительный функционал (в частности, каждое состояние ) автоматически полностью положителен. ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• Учитывая алгебры и комплекснозначных непрерывных функций на компактных хаусдорфовых пространствах , каждое положительное отображение является вполне положительным. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• Транспонирование матриц является стандартным примером положительного отображения, которое не является 2-положительным. Пусть T обозначает это отображение на . Ниже приведена положительная матрица в : Образ этой матрицы под , который явно не является положительным, имея определитель −1. Более того, собственные значения этой матрицы равны 1,1,1 и −1. (Эта матрица, по сути, является матрицей Чоя для T .) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle I_{2}\otimes T}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$
  Кстати, отображение Φ называется коположительным, если композиция Φ T положительна. Само отображение транспонирования является коположительным. ${\displaystyle \circ }$

Смотрите также

• Теорема Чоя о полностью положительных отображениях

Ссылки

1. KR Davidson: C*-алгебры в примерах , Американское математическое общество (1996), ISBN 0-821-80599-1, Теория IX.4.1
2. Р. В. Кэдисон , Дж. Р. Рингроуз : Основы теории операторных алгебр II , Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Sect. 11.5.21