Полнота действительных чисел

Полнота — это свойство действительных чисел , которое интуитивно подразумевает, что на числовой прямой нет «пробелов» (в терминологии Дедекинда) или «пропущенных точек» . Это контрастирует с рациональными числами , на числовой прямой которых есть «пробел» при каждом иррациональном значении. В десятичной системе счисления полнота эквивалентна утверждению, что любая бесконечная строка десятичных цифр на самом деле является десятичным представлением некоторого действительного числа.

В зависимости от конструкции используемых действительных чисел полнота может принимать форму аксиомы ( аксиома полноты ) или может быть теоремой, доказанной из конструкции. Существует много эквивалентных форм полноты, наиболее известными из которых являются полнота Дедекинда и полнота Коши ( полнота как метрическое пространство ).

Формы полноты

Действительные числа можно определить синтетически как упорядоченное поле, удовлетворяющее некоторой версии аксиомы полноты . Различные версии этой аксиомы эквивалентны в том смысле, что любое упорядоченное поле, удовлетворяющее одной форме полноты, удовлетворяет всем им, за исключением теоремы о полноте Коши и вложенных интервалах, которые строго слабее в том смысле, что существуют неархимедовы поля , которые упорядочены и полны по Коши. Когда вместо этого действительные числа строятся с использованием модели, полнота становится теоремой или набором теорем.

Свойство наименьшей верхней границы

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что каждое непустое подмножество действительных чисел, имеющее верхнюю границу (или ограниченное сверху), должно иметь наименьшую верхнюю границу (или супремум) в множестве действительных чисел.

Рациональная числовая прямая Q не имеет свойства наименьшей верхней границы. Примером может служить подмножество рациональных чисел

S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}.

Этот набор имеет верхнюю границу. Однако этот набор не имеет наименьшей верхней границы в $Q$ : наименьшая верхняя граница как подмножество действительных чисел была бы $\sqrt2$ , но она не существует в $Q$ . Для любой верхней границы $x \in Q$ , существует другая верхняя граница $y \in Q$ с $y < x$ .

Например, возьмем $x = 1,5$ , тогда $x$ , безусловно, является верхней границей $S$ , поскольку $x$ положительно и $x 2 = 2,25 \geq 2$ ; то есть, ни один элемент $S$ не больше $x$ . Однако мы можем выбрать меньшую верхнюю границу, скажем, $y = 1,45$ ; это также верхняя граница $S$ по тем же причинам, но она меньше $x$ , поэтому $x$ не является наименьшей верхней границей $S.$ Мы можем действовать аналогичным образом, чтобы найти верхнюю границу $S$ , которая меньше $y$ , скажем, $z = 1,42$ и т. д . , так что мы никогда не найдем наименьшую верхнюю границу $S$ в $Q.$

Свойство наименьшей верхней границы можно обобщить на случай частично упорядоченных множеств . См. полнота (теория порядка) .

Дедекиндова полнота

Более общие концепции с таким названием см . в разделе «Дедекиндова полнота» .

Дедекиндова полнота — это свойство, согласно которому каждое сечение Дедекинда действительных чисел порождается действительным числом. В синтетическом подходе к действительным числам эта версия полноты чаще всего включается в качестве аксиомы.

Рациональная числовая прямая Q не является полной по Дедекинду. Примером может служить сечение Дедекинда

L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.

R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.

L не имеет максимума, а R не имеет минимума, поэтому этот разрез не генерируется рациональным числом.

Существует конструкция действительных чисел, основанная на идее использования сечений Дедекинда рациональных чисел для наименования действительных чисел; например, сечению (L,R), описанному выше, было бы присвоено имя . Если бы кто-то повторил конструкцию действительных чисел с помощью сечений Дедекинда (т.е. «закрыл» множество действительных чисел, добавив все возможные сечений Дедекинда), то он не получил бы никаких дополнительных чисел, поскольку действительные числа уже являются полными по Дедекинду. ${\sqrt {2}}$

полнота Коши

Полнота по Коши — это утверждение, что каждая последовательность Коши действительных чисел сходится к действительному числу.

Рациональная числовая прямая Q не является полной по Коши. Примером может служить следующая последовательность рациональных чисел:

3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots

Здесь n- й член последовательности является n- м десятичным приближением для pi . Хотя это последовательность Коши рациональных чисел, она не сходится ни к какому рациональному числу. (В этой действительной числовой оси эта последовательность сходится к pi.)

Полнота Коши связана с построением действительных чисел с использованием последовательностей Коши. По сути, этот метод определяет действительное число как предел последовательности Коши рациональных чисел.

В математическом анализе полнота Коши может быть обобщена до понятия полноты для любого метрического пространства . См. полное метрическое пространство .

Для упорядоченного поля полнота Коши слабее других форм полноты на этой странице. Но полнота Коши и свойство Архимеда , взятые вместе, эквивалентны остальным.

Теорема о вложенных интервалах

Теорема о вложенных интервалах — это еще одна форма полноты. Пусть $I n = [a n, b n]$ — последовательность замкнутых интервалов , и предположим, что эти интервалы вложены в том смысле, что

I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots

Более того, предположим, что $b n - a n \to 0$ при $n \to +\infty$ . Теорема о вложенных интервалах утверждает, что пересечение всех интервалов $I n$ содержит ровно одну точку.

Рациональная числовая прямая не удовлетворяет теореме о вложенных интервалах. Например, последовательность (члены которой выводятся из цифр числа пи предложенным способом)

[3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots

представляет собой вложенную последовательность замкнутых интервалов в рациональных числах, пересечение которых пусто. (В действительных числах пересечение этих интервалов содержит число пи .)

Теорема о вложенных интервалах имеет тот же логический статус, что и полнота Коши в этом спектре выражений полноты. Другими словами, теорема о вложенных интервалах сама по себе слабее других форм полноты, хотя, взятая вместе со свойством Архимеда , она эквивалентна другим.

Принцип открытой индукции

Принцип открытой индукции утверждает, что непустое открытое подмножество интервала должно быть равно всему интервалу, если для любого имеем , что влечет . $S$ $[a,b]$ $r\in [a,b]$ $[a,r)\subset S$ $[a,r]\subset S$

Принцип открытой индукции можно показать эквивалентным полноте Дедекинда для произвольных упорядоченных множеств в топологии порядка, используя доказательства от противного. В более слабых основаниях, таких как в конструктивном анализе , где закон исключенного третьего не выполняется, полная форма свойства наименьшей верхней границы не выполняется для действительных чисел Дедекинда, в то время как свойство открытой индукции остается верным в большинстве моделей (следуя теореме Брауэра о стержне) и достаточно сильно, чтобы дать краткие доказательства ключевых теорем.

Теорема о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости (описываемая как фундаментальная аксиома анализа Кёрнером ^[1] ) утверждает, что каждая неубывающая, ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Это можно рассматривать как частный случай свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать довольно напрямую для доказательства полноты Коши действительных чисел.

Теорема Больцано–Вейерштрасса

Теорема Больцано–Вейерштрасса утверждает, что каждая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность . Опять же, эта теорема эквивалентна другим формам полноты, приведенным выше.

Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении утверждает, что каждая непрерывная функция, которая достигает как отрицательных, так и положительных значений, имеет корень. Это следствие свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать для доказательства свойства наименьшей верхней границы, если рассматривать его как аксиому. (Определение непрерывности не зависит от какой-либо формы полноты, поэтому нет никакого круга: имеется в виду, что теорема о промежуточном значении и свойство наименьшей верхней границы являются эквивалентными утверждениями.)

Смотрите также

Список реальных тем анализа

Ссылки

^ Кёрнер, Томас Уильям (2004). Компаньон по анализу: второй первый и первый второй курс по анализу . AMS Chelsea. ISBN 9780821834473.

Дальнейшее чтение

Aliprantis, Charalambos D. ; Burkinshaw, Owen (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Бакалаврские тексты по математике . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-32148-6.
Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Бакалаврские тексты по математике. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070542358.
Данжелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 9780395959336.
Брессо, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA . ISBN 978-0-88385-747-2.