Функциональный квадратный корень

В математике функциональный квадратный корень (иногда называемый полуитерацией ) — это квадратный корень функции относительно операции композиции функций . Другими словами, функциональный квадратный корень функции g $—$ это функция $f,$ удовлетворяющая $f$ $($ $f$ $($ $x$ $)) =$ $g$ $($ $x$ $)$ для всех $x$ .

Обозначение

Обозначения, выражающие, что $f$ является функциональным квадратным корнем $g,$ следующие: $f = g [1/2]$ и $f = g 1/2$ . ^{[ необходима ссылка ]}

История

Функциональный квадратный корень показательной функции (теперь известный как полупоказательная функция ) был изучен Гельмутом Кнезером в 1950 году. ^[1]
Решения $f (f (x)) = x$ над ( инволюциями действительных чисел ) были впервые изучены Чарльзом Бэббиджем в 1815 году, и это уравнение называется функциональным уравнением Бэббиджа . ^[2] Частным решением является $f$ $($ $x$ $) = ($ $b$ $-$ $x$ $)/(1 +$ $cx$ $)$ для $bc$ $\neq -1$ . Бэббидж заметил, что для любого данного решения $f$ его функциональное сопряжение $Ψ$ $-1$ $\circ$ $f$ $\circ$ $Ψ$ произвольной обратимой функцией $Ψ$ также является решением. Другими словами, группа всех обратимых функций на действительной прямой действует на подмножество, состоящее из решений функционального уравнения Бэббиджа посредством сопряжения . $\mathbb {R}$

Решения

Систематическая процедура получения произвольных функциональных $n$ -корней (включая произвольные действительные, отрицательные и бесконечно малые $n$ ) функций основана на решениях уравнения Шредера . ^[3]^[4]^[5] Существует бесконечно много тривиальных решений, когда область определения корневой функции f может быть существенно больше, чем область определения g . $g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$

Примеры

$f (x) = 2 x 2$ является функциональным квадратным корнем $g (x) = 8 x 4$ .
Функциональный квадратный корень $n-$ го многочлена Чебышёва , , равен , который в общем случае не является многочленом . $g(x)=T_{n}(x)$ $f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}$
$f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))$ является функциональным квадратным корнем из . $g(x)=x/(2-x)$

sin [2] (x) = sin(sin(x))

[ красная кривая]

sin [1] (x) = sin(x) = rin(rin(x))

[ синяя кривая]

грех [ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ] ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x ))

[оранжеваякривая]

грех [⁠ 1 / 4 ⁠] (x) = qin(x)

[черная кривая над оранжевой кривой]

sin [-1] (x) = arcsin(x)

[пунктирная кривая]

(См. ^[6] Для обозначения см. [1] Архивировано 05.12.2022 на Wayback Machine .)

Смотрите также

Ссылки

^ Кнезер, Х. (1950). «Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen». Журнал для королевы и математики . 187 : 56–67. дои : 10.1515/crll.1950.187.56. S2CID 118114436.
^ Джереми Грей и Карен Паршалл (2007) Эпизоды в истории современной алгебры (1800–1950) , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4343-7
^ Шредер, Э. (1870). "Ueber iterirte Functionen". Математические Аннален . 3 (2): 296–322. дои : 10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.
^ Szekeres, G. (1958). «Регулярная итерация действительных и комплексных функций». Acta Mathematica . 100 (3–4): 361–376. doi : 10.1007/BF02559539 .
^ Curtright, T. ; Zachos, C. ; Jin, X. (2011). «Приближенные решения функциональных уравнений». Journal of Physics A . 44 (40): 405205. arXiv : 1105.3664 . Bibcode :2011JPhA...44N5205C. doi :10.1088/1751-8113/44/40/405205. S2CID 119142727.
^ Куртрайт, Т. Л. Эволюционные поверхности и функциональные методы Шредера. Архивировано 30 октября 2014 г. на Wayback Machine .