Положительно-определенная функция на группе

В математике, и в частности в теории операторов , положительно-определенная функция на группе связывает понятия положительности в контексте гильбертовых пространств и алгебраических групп . Ее можно рассматривать как особый тип положительно-определенного ядра , где базовое множество имеет дополнительную групповую структуру.

Определение

Пусть будет группой, будет комплексным гильбертовым пространством, и будут ограниченными операторами на . Положительно определенная функция на — это функция , которая удовлетворяет условию ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:G\to L(H)}$

${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \geq 0,}$

для каждой функции с конечным носителем ( принимает ненулевые значения только для конечного числа ). ${\displaystyle h:G\to H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle s}$

Другими словами, функция называется положительно определенной функцией, если ядро, определяемое с помощью , является положительно определенным ядром. Такое ядро ​​является -симметричным, то есть оно инвариантно относительно левого -действия: Когда является локально компактной группой , определение обобщается путем интегрирования по ее левоинвариантной мере Хаара . Положительно определенная функция на является непрерывной функцией , которая удовлетворяет для любой непрерывной функции с компактным носителем . ${\displaystyle F:G\to L(H)}$ ${\displaystyle K:G\times G\to L(H)}$ ${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle K(s,t)=K(rs,rt),\quad \forall r\in G}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:G\to L(H)}$ $${\displaystyle \int _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \;\mu (ds)\mu (dt)\geq 0,}$$ ${\displaystyle h:G\to H}$

Примеры

Постоянная функция , где — оператор тождества на , является положительно определенной. ${\displaystyle F(g)=I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$

Пусть — конечная абелева группа, а — одномерное гильбертово пространство . Любой характер положительно определен. (Это частный случай унитарного представления.) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} }$

Чтобы показать это, напомним, что характер конечной группы является гомоморфизмом из в мультипликативную группу комплексных чисел с нормой 1. Тогда для любой функции , когда с мерой Лебега , и , положительно определенная функция на является непрерывной функцией такой, что для любой непрерывной функции с компактным носителем. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h:G\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \sum _{s,t\in G}\chi (s^{-1}t)h(t){\overline {h(s)}}=\sum _{s,t\in G}\chi (s^{-1})h(t)\chi (t){\overline {h(s)}}=\sum _{s}\chi (s^{-1}){\overline {h(s)}}\sum _{t}h(t)\chi (t)=\left|\sum _{t}h(t)\chi (t)\right|^{2}\geq 0.}$$ ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H=\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m\times m}}$ $${\displaystyle \int _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}h(x)^{\dagger }F(x-y)h(y)\;dxdy\geq 0}$$ ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$

Унитарные представления

Унитарное представление — это унитальный гомоморфизм , где — унитарный оператор для всех . Для таких , . ${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$ ${\displaystyle \Phi (s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (s^{-1})=\Phi (s)^{*}}$

Положительно-определенные функции на тесно связаны с унитарными представлениями . Каждое унитарное представление порождает семейство положительно-определенных функций. И наоборот, если задана положительно-определенная функция, можно естественным образом определить унитарное представление . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Пусть — унитарное представление . Если — проекция на замкнутое подпространство . Тогда — положительно определенная функция на со значениями в . Это легко показать: ${\displaystyle \Phi :G\to L(H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\in L(H)}$ ${\displaystyle H'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F(s)=P\Phi (s)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L(H')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s,t\in G}\langle F(s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle &=\sum _{s,t\in G}\langle P\Phi (s^{-1}t)h(t),h(s)\rangle \\{}&=\sum _{s,t\in G}\langle \Phi (t)h(t),\Phi (s)h(s)\rangle \\{}&=\left\langle \sum _{t\in G}\Phi (t)h(t),\sum _{s\in G}\Phi (s)h(s)\right\rangle \\{}&\geq 0\end{aligned}}}$

для любого с конечным носителем. Если имеет топологию и слабо(соотв. сильно) непрерывен, то, очевидно, таковым является . ${\displaystyle h:G\to H'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle F}$

С другой стороны, рассмотрим теперь положительно определенную функцию на . Унитарное представление можно получить следующим образом. Пусть — семейство функций с конечным носителем. Соответствующее положительное ядро ​​определяет (возможно, вырожденное) скалярное произведение на . Пусть полученное гильбертово пространство обозначим через . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{00}(G,H)}$ ${\displaystyle h:G\to H}$ ${\displaystyle K(s,t)=F(s^{-1}t)}$ ${\displaystyle C_{00}(G,H)}$ ${\displaystyle V}$

Заметим, что «элементы матрицы» для всех в . Поэтому сохраняет скалярное произведение на , т.е. оно унитарно в . Ясно, что отображение является представлением на . ${\displaystyle K(s,t)=K(a^{-1}s,a^{-1}t)}$ ${\displaystyle a,s,t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{a}h(s)=h(a^{-1}s)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L(V)}$ ${\displaystyle \Phi (a)=U_{a}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$

Унитарное представление единственно с точностью до изоморфизма гильбертова пространства, если выполняется следующее условие минимальности:

${\displaystyle V=\bigvee _{s\in G}\Phi (s)H}$

где обозначает замыкание линейного промежутка. ${\displaystyle \bigvee }$

Определим как элементы (возможно, классы эквивалентности) в , носитель которых состоит из элемента тождества , и пусть будет проекцией на это подпространство. Тогда для всех имеем . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e\in G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$ ${\displaystyle a\in G}$

Ядра Теплица

Пусть будет аддитивной группой целых чисел . Ядро называется ядром типа Тёплица , по аналогии с матрицами Тёплица . Если имеет вид , где — ограниченный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве. Можно показать, что ядро ​​положительно тогда и только тогда, когда — сжатие . Согласно обсуждению из предыдущего раздела, мы имеем унитарное представление , для унитарного оператора . Более того, свойство теперь переносится в . Это в точности теорема о дилатации С.-Надя и намекает на важную дилатационно-теоретическую характеристику положительности, которая приводит к параметризации произвольных положительно определенных ядер. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(n,m)=F(m-n)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(n)=T^{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(n,m)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Phi (n)=U^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle PU_{a}P=F(a)}$ ${\displaystyle PU^{n}P=T^{n}}$

Ссылки

• Берг, Кристиан; Кристенсен, Пол; Рессель (1984). Гармонический анализ полугрупп . Тексты для аспирантов по математике. Том 100. Springer Verlag.
• Константинеску, Т. (1996). Параметры Шура, проблемы расширения и факторизации . Birkhauser Verlag.
• Sz.-Nagy, B.; Foias, C. (1970). Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве . North-Holland.
• Сасвари, З. (1994). Положительно определенные и определяемые функции . Akademie Verlag.
• Уэллс, Дж. Х.; Уильямс, Л.Р. (1975). Вложения и расширения в анализе . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 84. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. vii+108.