ПОВМ

Обобщенное измерение в квантовой механике

В функциональном анализе и квантовой информатике положительная операторно-значная мера ( POVM ) — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением проекционно-значных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM (называемых проективными измерениями).

Грубо говоря, POVM по отношению к PVM является тем же, чем смешанное состояние по отношению к чистому состоянию . Смешанные состояния необходимы для указания состояния подсистемы более крупной системы (см. очистка квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания эффекта на подсистему проективного измерения, выполненного на более крупной системе.

POVM являются наиболее общим видом измерения в квантовой механике и могут также использоваться в квантовой теории поля . ^[1] Они широко используются в области квантовой информации .

Определение

Пусть обозначает гильбертово пространство и измеримое пространство с борелевской σ-алгеброй на . POVM — это функция , определенная на , значения которой являются положительными ограниченными самосопряженными операторами на , такими, что для любого ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

является неотрицательной счетно-аддитивной мерой на σ-алгебре и является тождественным оператором . ^[2] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

В квантовой механике ключевым свойством POVM является то, что она определяет меру вероятности в пространстве результатов, поэтому ее можно интерпретировать как вероятность события при измерении квантового состояния . ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

В простейшем случае, когда — конечное множество, — множество мощности и — конечномерно, POVM эквивалентно множеству положительно полуопределенных эрмитовых матриц, сумма которых равна единичной матрице ^[3] : ⁹⁰ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

POVM отличается от проекционно-значимой меры тем, что для проекционно-значимых мер значения должны быть ортогональными проекциями . ${\displaystyle F}$

В дискретном случае элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении квантового измерения квантового состояния определяется выражением ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

где оператор следа . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым состоянием, эта формула сводится к ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

Дискретный случай POVM обобщает простейший случай PVM, который представляет собой набор ортогональных проекторов , сумма которых дает единичную матрицу : ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Формулы вероятности для PVM такие же, как и для POVM. Важное отличие состоит в том, что элементы POVM не обязательно ортогональны. Как следствие, число элементов POVM может быть больше размерности гильбертова пространства, в котором они действуют. С другой стороны, число элементов PVM не больше размерности гильбертова пространства. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$

Теорема Наймарка о расширении

Примечание: альтернативное написание — «Теорема Ноймарка».

Теорема Наймарка о дилатации ^[4] показывает, как POVM могут быть получены из PVM, действующих на большем пространстве. Этот результат имеет решающее значение в квантовой механике, поскольку он дает способ физически реализовать измерения POVM. ^{[5] : 285}

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве, теорема Наймарка гласит, что если — POVM, действующая в гильбертовом пространстве размерности , то существует PVM, действующая в гильбертовом пространстве размерности и изометрия , такая, что для всех , ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

Для частного случая POVM ранга 1, т.е. когда для некоторых (ненормализованных) векторов , эта изометрия может быть построена как ^{[5] : 285} ${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$ ${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

и PVM задается просто как . Обратите внимание, что здесь . ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$ ${\displaystyle d_{A'}=n}$

В общем случае изометрию и PVM можно построить, определив ^{[6] [7]} , , и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

Обратите внимание, что здесь , поэтому это более расточительная конструкция. ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

В любом случае вероятность получения результата с помощью этой PVM и состояния, соответствующим образом преобразованного изометрией, такая же, как вероятность его получения с помощью исходной POVM: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

Эту конструкцию можно превратить в рецепт физической реализации POVM, расширив изометрию до унитарного , то есть найдя такое, что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

для от 1 до . Это всегда можно сделать. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{A}}$

Рецепт реализации POVM, описываемой с помощью квантового состояния, состоит в том, чтобы встроить квантовое состояние в гильбертово пространство , развить его с помощью унитарного и выполнить проективное измерение, описываемое PVM . ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

Состояние после измерения

Состояние после измерения определяется не самой POVM, а PVM, которая физически ее реализует. Поскольку существует бесконечно много различных PVM, реализующих одну и ту же POVM, операторы сами по себе не определяют, каким будет состояние после измерения. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что для любого унитарного оператора ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

также будет обладать свойством , что , так что с помощью изометрии ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

во второй конструкции выше также реализует тот же POVM. В случае, когда измеряемое состояние находится в чистом состоянии , результирующий унитар берет его вместе с вспомогательным состоянием ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

и проективное измерение на вспомогательном элементе свернется к состоянию ^{[3] : 84} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

при получении результата . Когда измеряемое состояние описывается матрицей плотности , соответствующее состояние после измерения задается как ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

Таким образом, мы видим, что состояние после измерения явно зависит от унитарного . Обратите внимание, что в то время как всегда эрмитово, в общем случае не обязательно должно быть эрмитовым. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Другое отличие от проективных измерений заключается в том, что измерение POVM в общем случае не повторяется. Если при первом измерении был получен результат, вероятность получения другого результата при втором измерении равна ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

которые могут быть ненулевыми, если и не ортогональны. В проективном измерении эти операторы всегда ортогональны, и поэтому измерение всегда повторяемо. ${\displaystyle M_{i_{0}}}$ ${\displaystyle M_{i_{1}}}$

Пример: однозначное различение квантовых состояний

Представление состояний сферой Блоха (синим цветом) и оптимальная POVM (красным цветом) для однозначного квантового различения состояний и . Обратите внимание, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны. ${\displaystyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$

Предположим, у вас есть квантовая система с двумерным гильбертовым пространством, которая, как вы знаете, находится либо в состоянии , либо в состоянии , и вы хотите определить, в каком из них она находится. Если и ортогональны, эта задача проста: набор образует PVM, и проективное измерение в этом базисе с уверенностью определит состояние. Если, однако, и не ортогональны, эта задача невыполнима , в том смысле, что нет измерения, ни PVM, ни POVM, которое бы их с уверенностью различало. ^{[3] : 87} Невозможность идеального различения неортогональных состояний является основой для квантовых информационных протоколов, таких как квантовая криптография , квантовое подбрасывание монеты и квантовые деньги . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Задача однозначного различения квантовых состояний (UQSD) — это следующая лучшая вещь: никогда не ошибаться относительно того, является ли состояние или , ценой иногда неубедительного результата. Это возможно сделать с помощью проективных измерений. ^[8] Например, если вы измеряете PVM , где — квантовое состояние, ортогональное , и получаете результат , то вы точно знаете, что состояние было . Если результат был , то он неубедителен. Аналогичное рассуждение справедливо для PVM , где — состояние, ортогональное . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$ ${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Однако это неудовлетворительно, поскольку вы не можете обнаружить оба и одним измерением, а вероятность получения окончательного результата меньше, чем с POVM. POVM, которая дает самую высокую вероятность окончательного результата в этой задаче, определяется как ^{[8] [9]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

где

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Обратите внимание , что когда результат получен, мы уверены, что квантовое состояние равно , а когда результат получен, мы уверены, что квантовое состояние равно . ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Вероятность получения окончательного результата определяется по формуле

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

когда квантовая система находится в состоянии или с той же вероятностью. Этот результат известен как предел Ивановича-Дикса-Переса, названный в честь авторов, которые были пионерами исследований UQSD. ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Поскольку POVM имеют ранг 1, мы можем использовать простой случай конструкции выше, чтобы получить проективное измерение, которое физически реализует эту POVM. Обозначая три возможных состояния расширенного гильбертова пространства как , , и , мы видим, что полученный унитар переводит состояние в ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$ ${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

и аналогично это требует от государства ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

Проективное измерение дает желаемые результаты с той же вероятностью, что и POVM.

Эта POVM использовалась для экспериментального различения неортогональных поляризационных состояний фотона. Реализация POVM с проективным измерением немного отличалась от описанной здесь. ^{[13] [14]}

Смотрите также

• SIC-POVM
• Квантовое измерение
• Математическая формулировка квантовой механики
• Матрица плотности
• Квантовая операция
• Проекционно-оцененная мера
• Векторная мера

Ссылки

1. Перес, Эшер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Reviews of Modern Physics . 76 (1): 93–123. arXiv : quant-ph/0212023 . Bibcode : 2004RvMP...76...93P. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
2. Дэвис, Эдвард Брайан (1976). Квантовая теория открытых систем . Лондон: Acad. Press. стр. 35. ISBN 978-0-12-206150-9.
3. М. Нильсен и И. Чжуан, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)
4. И. М. Гельфанд и М. А. Неймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов гильбертова пространства, Матем. сборник, НС 12(54) (1943), 197–213.
5. А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Kluwer Academic Publishers, 1993.
6. Дж. Прескилл, Конспект лекций по физике: Квантовая информация и вычисления, Глава 3, http://theory.caltech.edu/~preskill/ph229/index.html
7. Дж. Уотрус. Теория квантовой информации. Cambridge University Press, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
8. JA Bergou; U. Herzog; M. Hillery (2004). "Распознавание квантовых состояний". В M. Paris; J. Řeháček (ред.). Оценка квантового состояния . Springer. стр. 417–465. doi :10.1007/978-3-540-44481-7_11. ISBN 978-3-540-44481-7.
9. Chefles, Anthony (2000). «Дискриминация квантовых состояний». Contemporary Physics . 41 (6). Informa UK Limited: 401–424. arXiv : quant-ph/0010114v1 . Bibcode : 2000ConPh..41..401C. doi : 10.1080/00107510010002599. ISSN  0010-7514. S2CID  119340381.
10. Иванович, ИД (1987). «Как различать неортогональные состояния». Physics Letters A. 123 ( 6). Elsevier BV: 257–259. Bibcode : 1987PhLA..123..257I. doi : 10.1016/0375-9601(87)90222-2. ISSN  0375-9601.
11. Dieks, D. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Physics Letters A. 126 ( 5–6). Elsevier BV: 303–306. Bibcode : 1988PhLA..126..303D. doi : 10.1016/0375-9601(88)90840-7. ISSN  0375-9601.
12. Перес, Эшер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Physics Letters A. 128 ( 1–2). Elsevier BV: 19. Bibcode : 1988PhLA..128...19P. doi : 10.1016/0375-9601(88)91034-1. ISSN  0375-9601.
13. B. Huttner; A. Muller; JD Gautier; H. Zbinden; N. Gisin (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Physical Review A. 54 ( 5). APS: 3783–3789. Bibcode : 1996PhRvA..54.3783H. doi : 10.1103/PhysRevA.54.3783. PMID  9913923.
14. RBM Clarke; A. Chefles; SM Barnett; E. Riis (2001). "Экспериментальная демонстрация оптимального однозначного различения состояний". Physical Review A. 63 ( 4). APS: 040305(R). arXiv : quant-ph/0007063 . Bibcode : 2001PhRvA..63d0305C. doi : 10.1103/PhysRevA.63.040305. S2CID  39481893.

• POVM
  • К. Краус, Состояния, эффекты и операции, Конспект лекций по физике 190, Springer (1983).
  • А. С. Холево , Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, North-Holland Publ. Cy., Амстердам (1982).

Внешние ссылки

• Интерактивная демонстрация дискриминации квантовых состояний