Положительные действительные числа

Подмножество действительных чисел, которые больше нуля

В математике множество положительных действительных чисел — это подмножество тех действительных чисел , которые больше нуля. Неотрицательные действительные числа также включают ноль. Хотя символы и неоднозначно используются для любого из них, обозначение или для и или для также широко используется, соответствует практике в алгебре обозначения исключения нулевого элемента звездочкой и должно быть понятно большинству практикующих математиков. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$

В комплексной плоскости отождествляется с положительной действительной осью и обычно изображается как горизонтальный луч . Этот луч используется в качестве опорного в полярной форме комплексного числа . Действительная положительная ось соответствует комплексным числам с аргументом ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$ ${\displaystyle \varphi =0.}$

Характеристики

Множество замкнуто относительно сложения, умножения и деления. Оно наследует топологию от вещественной прямой и, таким образом, имеет структуру мультипликативной топологической группы или аддитивной топологической полугруппы . ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$

Для данного положительного действительного числа последовательность его целых степеней имеет три различных судьбы: когда предел равен нулю; когда последовательность постоянна; и когда последовательность неограниченна . ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$ ${\displaystyle x\in (0,1),}$ ${\displaystyle x=1,}$ ${\displaystyle x>1,}$

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$и мультипликативная обратная функция меняет интервалы местами. Функции floor и extra использовались для описания элемента как непрерывной дроби , которая является последовательностью целых чисел , полученных из функции floor после того, как extra был обменян. Для рационального числа последовательность заканчивается точным дробным выражением , а для квадратичного иррационального числа последовательность становится периодической непрерывной дробью . ${\displaystyle \operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle \operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x,}$

Упорядоченный набор образует полный порядок , но не является вполне упорядоченным набором . Вдвойне бесконечная геометрическая прогрессия , где — целое число , целиком лежит в и служит для ее разделения для доступа. образует шкалу отношений , высший уровень измерения . Элементы могут быть записаны в научной нотации как, где и — целое число в вдвойне бесконечной прогрессии, и называется декадой . При изучении физических величин порядок декад обеспечивает положительные и отрицательные порядковые числа, ссылающиеся на порядковую шкалу, подразумеваемую в шкале отношений. ${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ ${\displaystyle 10^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle a\times 10^{b},}$ ${\displaystyle 1\leq a<10}$ ${\displaystyle b}$

При изучении классических групп для каждого определитель дает отображение матриц над действительными числами в действительные числа: Ограничение до обратимых матриц дает отображение из общей линейной группы в ненулевые действительные числа: Ограничение до матриц с положительным определителем дает отображение ; интерпретация образа как фактор-группы по нормальной подгруппе , называемой специальной линейной группой , выражает положительные действительные числа как группу Ли . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$

Шкала отношений

Среди уровней измерения шкала отношений обеспечивает самую тонкую детализацию. Функция деления принимает значение единицы, когда числитель и знаменатель равны. Другие отношения сравниваются с единицей с помощью логарифмов, часто десятичных логарифмов с основанием 10. Затем шкала отношений сегментируется по порядкам величины, используемым в науке и технике, выраженным в различных единицах измерения .

Раннее выражение шкалы отношений было геометрически сформулировано Евдоксом : «именно на геометрическом языке была разработана общая теория пропорций Евдокса, которая эквивалентна теории положительных действительных чисел». ^[2]

Логарифмическая мера

Если — интервал , то определяет меру на некоторых подмножествах , соответствующую обратному пути обычной меры Лебега на действительных числах под знаком логарифма: это длина на логарифмической шкале . Фактически, это инвариантная мера относительно умножения на a, так же как мера Лебега инвариантна относительно сложения. В контексте топологических групп эта мера является примером меры Хаара . ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$

Полезность этой меры показана в ее использовании для описания звездных величин и уровней шума в децибелах , среди других применений логарифмической шкалы . Для целей международных стандартов ISO 80000-3 безразмерные величины называются уровнями .

Приложения

Неотрицательные действительные числа служат образом метрик , норм и мер в математике .

Включая 0, множество имеет структуру полукольца (0 является аддитивной единицей ), известную как вероятностное полукольцо ; взятие логарифмов (с выбором основания, дающего логарифмическую единицу ) дает изоморфизм с логарифмическим полукольцом (где 0 соответствует ), а его единицы (конечные числа, за исключением ) соответствуют положительным действительным числам. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Квадрат

Пусть первый квадрант декартовой плоскости. Сам квадрант разделен на четыре части прямой и стандартной гиперболой ${\displaystyle Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}}$ ${\displaystyle H=\{(x,y):xy=1\}.}$

Образует трезубец, а является центральной точкой. Это элемент тождества двух однопараметрических групп , которые там пересекаются: ${\displaystyle L\cup H}$ ${\displaystyle L\cap H=(1,1)}$ $${\displaystyle \{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.}$$

Так как является группой , является прямым произведением групп . Однопараметрические подгруппы L и H в Q профилируют активность в произведении и является разрешением типов группового действия. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L\times H}$

Сферы бизнеса и науки изобилуют отношениями, и любое изменение отношений привлекает внимание. Исследование относится к гиперболическим координатам в Q. Движение против оси L указывает на изменение геометрического среднего, тогда как изменение вдоль оси H указывает на новый гиперболический угол . ${\displaystyle {\sqrt {xy}},}$

Смотрите также

• Полуполе  – Алгебраическая структура
• Знак (математика)  – свойство числа быть положительным или отрицательным

Ссылки

1. "положительное число в nLab". ncatlab.org . Получено 2020-08-11 .
2. Э. Дж. Дейкстерхейс (1961) Механизация картины мира, стр. 51, через Интернет-архив

Библиография

• Кист, Джозеф; Литсма, Сэнфорд (1970). «Аддитивные полугруппы положительных действительных чисел». Математические Аннален . 188 (3): 214–218. дои : 10.1007/BF01350237.