Моноидное кольцо

Алгебраическая структура

В абстрактной алгебре моноидное кольцо — это кольцо, построенное из кольца и моноида , точно так же, как групповое кольцо построено из кольца и группы .

Определение

Пусть R — кольцо, а G — моноид. Моноидное кольцо или моноидная алгебра G над R , обозначаемая R [ G ] или RG , — это множество формальных сумм , где для каждого и r _g = 0 для всех, кроме конечного числа g , снабженное покоэффициентным сложением и умножением, в котором элементы R коммутируют с элементами G . Более формально, R [ G ] — это свободный R -модуль на множестве G , снабженный R -линейным умножением, определенным на базовых элементах как g·h  := gh , где левая часть понимается как умножение в R [ G ], а правая часть понимается в G . ${\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}$ ${\displaystyle r_{g}\in R}$ ${\displaystyle g\in G}$

В качестве альтернативы можно отождествить элемент с функцией e _g , которая отображает g в 1, а каждый другой элемент G в 0. Таким образом, R [ G ] отождествляется с множеством функций φ: G → R таким, что { g  : φ( g ) ≠ 0 } является конечным. снабженным сложением функций и умножением, определяемым как ${\displaystyle g\in R[G]}$

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$.

Если G — группа , то R [ G ] также называется групповым кольцом группы G над R.

Универсальная собственность

Для данных R и G существует кольцевой гомоморфизм α: R → R [ G ], переводящий каждый r в r 1 (где 1 — единичный элемент G ), и моноидный гомоморфизм β: G → R [ G ] (где последний рассматривается как моноид относительно умножения), переводящий каждый g в 1 g (где 1 — мультипликативная единица R ). Мы имеем, что α( r ) коммутирует с β( g ) для всех r в R и g в G .

Универсальное свойство моноидного кольца гласит, что для данного кольца S , гомоморфизма колец α': R → S и гомоморфизма моноидов β': G → S в мультипликативный моноид S , таких, что α'( r ) коммутирует с β'( g ) для всех r из R и g из G , существует единственный гомоморфизм колец γ: R [ G ] → S такой, что композиция α и β с γ дает α' и β '.

Увеличение

Аугментация — это кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R, определяемый формулой

${\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

Ядро η называется идеалом аугментации . Это свободный R - модуль с базисом , состоящим из 1 –  g для всех g из G, не равных 1.

Примеры

Если задано кольцо R и (аддитивный) моноид натуральных чисел N (или { x ⁿ }, рассматриваемый мультипликативно), то мы получаем кольцо R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] многочленов над R. Моноид N ⁿ (с добавлением) дает кольцо многочленов с n переменными: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Обобщение

Если G — полугруппа , то та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].

Смотрите также

• Свободная алгебра
• серия Пюизё

Ссылки

• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Выпускные тексты по математике . Том 211 (переиздание 3-е). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.

Дальнейшее чтение

• Р. Гилмер. Коммутативные полугрупповые кольца . Издательство Чикагского университета, Чикаго–Лондон, 1984