Распределение полукруга Вигнера

Распределение вероятностей

Распределение полукруга Вигнера , названное в честь физика Юджина Вигнера , представляет собой распределение вероятностей, определенное на области [− R , R ], функция плотности вероятности f которого представляет собой масштабированную полуокружность, т. е. полуэллипс с центром в точке (0, 0):

${\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}$

для − R ≤ x ≤ R и f ( x ) = 0, если |x| > R. Параметр R обычно называют параметром «радиуса» распределения.

Распределение возникает как предельное распределение собственных значений многих случайных симметричных матриц , то есть, когда размеры случайной матрицы стремятся к бесконечности. Распределение интервалов или зазоров между собственными значениями рассматривается с помощью одноименной догадки Вигнера .

Общие свойства

Из-за симметрии все нечетные моменты распределения Вигнера равны нулю. Для положительных целых чисел n 2 n -й момент этого распределения равен

${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\left({R \over 2}\right)^{2n}{2n \choose n}\,}$

В типичном частном случае, когда R = 2 , эта последовательность совпадает с числами Каталана 1, 2, 5, 14 и т. д. В частности, второй момент равен R ² ⁄ 4 , а четвертый момент равен R ⁴ ⁄ 8 , что показывает, что избыточный эксцесс равен −1 . ^[1] Как можно вычислить с помощью теоремы о вычетах , преобразование Стилтьеса распределения Вигнера определяется выражением

${\displaystyle s(z)=-{\frac {2}{R^{2}}}(z-{\sqrt {z^{2}-R^{2}}})}$

для комплексных чисел z с положительной мнимой частью, где комплексный квадратный корень принимается имеющим положительную мнимую часть. ^[2]

Распределение Вигнера совпадает с масштабированным и смещенным бета-распределением : если Y является бета-распределенной случайной величиной с параметрами α = β = 3 ⁄ 2 , то случайная величина 2 RY – R демонстрирует полукруговое распределение Вигнера с радиусом R . С помощью этого преобразования легко напрямую вычислить некоторые статистические величины для распределения Вигнера в терминах величин для бета-распределений, которые более известны. ^[3]

Многочлены Чебышева второго рода являются ортогональными многочленами относительно распределения полукруга Вигнера радиуса 1. ^[4 ]

Характеристическая функция и функция создания момента

Характеристическую функцию распределения Вигнера можно определить из характеристической функции бета-переменной Y :

${\displaystyle \varphi (t)=e^{-iRt}\varphi _{Y}(2Rt)=e^{-iRt}{}_{1}F_{1}\left({\frac {3}{2}};3;2iRt\right)={\frac {2J_{1}(Rt)}{Rt}},}$

где ₁ F ₁ — вырожденная гипергеометрическая функция , а J ₁ — функция Бесселя первого рода .

Аналогично функция генерации момента может быть рассчитана как

${\displaystyle M(t)=e^{-Rt}M_{Y}(2Rt)=e^{-Rt}{}_{1}F_{1}\left({\frac {3}{2}};3;2Rt\right)={\frac {2I_{1}(Rt)}{Rt}}}$

где I ₁ — модифицированная функция Бесселя первого рода . Окончательные равенства в обеих приведенных выше строках — это известные тождества, связывающие вырожденную гипергеометрическую функцию с функциями Бесселя. ^[5]

Отношение к свободной вероятности

В свободной теории вероятностей роль полукругового распределения Вигнера аналогична роли нормального распределения в классической теории вероятностей. А именно, в свободной теории вероятностей роль кумулянтов занимают «свободные кумулянты», чья связь с обычными кумулянтами заключается просто в том, что роль множества всех разбиений конечного множества в теории обычных кумулянтов заменяется множеством всех непересекающихся разбиений конечного множества. Так же, как кумулянты степени больше 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение нормальное, так и свободные кумулянты степени больше 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является полукруговым распределением Вигнера.

Смотрите также

• Догадка Вигнера
• Распределение полукруга Вигнера является пределом распределений Кестена–Маккея, поскольку параметр d стремится к бесконечности.
• В теоретико-числовой литературе распределение Вигнера иногда называют распределением Сато–Тейта. См. гипотезу Сато–Тейта .
• Распределение Марченко–Пастура или свободное распределение Пуассона

Ссылки

1. Андерсон, Гионнет и Зейтуни, 2010, раздел 2.1.1; Бай и Сильверстайн, 2010 г., раздел 2.1.1.
2. Андерсон, Гионнет и Зейтуни, 2010, раздел 2.4.1; Бай и Сильверстайн, 2010 г., раздел 2.3.1.
3. Джонсон, Коц и Балакришнан 1995, раздел 25.3.
4. См. таблицу 18.3.1 Олвера и др. (2010).
5. См. идентификаторы 10.16.5 и 10.39.5 Олвера и др. (2010).

Литература

• Андерсон, Грег В.; Гионнет, Элис ; Зейтуни, Офер (2010). Введение в случайные матрицы . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 118. Кембридж: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511801334. ISBN 978-0-521-19452-5. MR  2670897. Zbl  1184.15023.
• Бай, Чжидун; Сильверстайн, Джек В. (2010). Спектральный анализ больших размерных случайных матриц . Springer Series in Statistics (Второе издание оригинального издания 2006 г.). Нью-Йорк: Springer . doi :10.1007/978-1-4419-0661-8. ISBN 978-1-4419-0660-1. MR  2567175. Zbl  1301.60002.
• Джонсон, Норман Л.; Коц , Сэмюэл ; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения. Том 2. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (Второе издание оригинального издания 1970 г.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-58494-0. MR  1326603. Zbl  0821.62001.
• Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., ред. (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-14063-8. MR  2723248. Zbl  1198.00002.
• Вигнер, Юджин П. (1955). «Характерные векторы окаймленных матриц с бесконечными размерами». Annals of Mathematics . Вторая серия. 62 (3): 548–564. doi :10.2307/1970079. MR  0077805. Zbl  0067.08403.

Внешние ссылки

• Эрик В. Вайсштейн и др., Полукруг Вигнера