Полулокальное кольцо

Алгебраическая классификация колец

В математике полулокальное кольцо — это кольцо , для которого R /J( R ) является полупростым кольцом , где J( R ) — радикал Джекобсона кольца R. (Lam 2001, p. §20)(Mikhalev & Pilz 2002, p. C.7)

Вышеприведенное определение выполняется, если R имеет конечное число максимальных правых идеалов (и конечное число максимальных левых идеалов). Когда R — коммутативное кольцо , обратная импликация также верна, и поэтому определение полулокальности для коммутативных колец часто принимается как «имеющее конечное число максимальных идеалов ».

В некоторой литературе коммутативное полулокальное кольцо в общем случае называют квазиполулокальным кольцом , используя термин «полулокальное кольцо» для обозначения нётерова кольца с конечным числом максимальных идеалов.

Таким образом, полулокальное кольцо является более общим, чем локальное кольцо , которое имеет только один максимальный (правый/левый/двусторонний) идеал.

Примеры

• Любое правое или левое артиново кольцо , любое последовательное кольцо и любое полусовершенное кольцо является полулокальным.
• Фактор — полулокальное кольцо. В частности, если — степень простого числа, то — локальное кольцо. ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
• Конечная прямая сумма полей является полулокальным кольцом. ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}}$
• В случае коммутативных колец с единицей этот пример является прототипическим в следующем смысле: китайская теорема об остатках показывает, что для полулокального коммутативного кольца R с единицей и максимальными идеалами m ₁ , ..., m _n

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$.

(Отображение — это естественная проекция). Правая часть — прямая сумма полей. Здесь мы замечаем, что ∩ _i m _i =J( R ), и видим, что R /J( R ) — действительно полупростое кольцо.

• Классическое кольцо частных для любого коммутативного нётерова кольца является полулокальным кольцом.
• Кольцо эндоморфизмов артинова модуля является полулокальным кольцом.
• Полулокальные кольца возникают, например, в алгебраической геометрии , когда (коммутативное) кольцо R локализовано относительно мультипликативно замкнутого подмножества S = ∩ (R \ p _i ) , где p i _— конечное число простых идеалов .

Учебники

• Лэм, TY (2001), "7", Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, г-н  1838439
• Михалев Александр Владимирович; Пильц, Гюнтер Ф., ред. (2002), Краткий справочник по алгебре , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. xvi+618, ISBN 0-7923-7072-4, MR  1966155