Геминепрерывность

Полунепрерывность для многозначных функций

В математике верхняя геминепрерывность и нижняя геминепрерывность являются расширениями понятий верхней и нижней полунепрерывности однозначных функций на многозначные функции . Многозначная функция, которая является как верхней, так и нижней геминепрерывной, называется непрерывной по аналогии со свойством с таким же названием для однозначных функций.

Чтобы объяснить оба понятия, рассмотрим последовательность a точек в домене и последовательность b точек в диапазоне. Мы говорим, что b соответствует a, если каждая точка в b содержится в изображении соответствующей точки в a .

• Верхняя геминепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности a в области и для любой сходящейся последовательности b , соответствующей a , изображение предела a содержало предел b .
• Нижняя геминепрерывность требует, чтобы для любой сходящейся последовательности a в области и для любой точки x в образе предела a существовала последовательность b , которая соответствует подпоследовательности a , которая сходится к x .

Примеры

Эта функция со значениями множества является геминепрерывной сверху всюду, но не геминепрерывной снизу в точке  : для последовательности точек , которая сходится к , мы имеем ( ) такое, что никакая последовательность не сходится к , где каждая находится в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{m}\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in f(x)}$ ${\displaystyle \left(y_{m}\right)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{m}}$ ${\displaystyle f\left(x_{m}\right).}$

Эта функция со значениями множества геминепрерывна снизу всюду, но не геминепрерывна сверху в точке , поскольку график (множество) не замкнут. ${\displaystyle x,}$

Изображение справа показывает функцию, которая не является геминепрерывной снизу в точке x . Чтобы увидеть это, пусть a будет последовательностью, которая сходится к x слева. Изображение x представляет собой вертикальную линию, содержащую некоторую точку ( x , y ). Но каждая последовательность b , соответствующая a, содержится в нижней горизонтальной линии, поэтому она не может сходиться к y . Напротив, функция является геминепрерывной сверху всюду. Например, рассматривая любую последовательность a , которая сходится к x слева или справа, и любую соответствующую последовательность b , предел b содержится в вертикальной линии, которая является образом предела a .

Изображение слева показывает функцию, которая не является геминепрерывной сверху в точке x . Чтобы увидеть это, пусть a будет последовательностью, которая сходится к x справа. Изображение a содержит вертикальные линии, поэтому существует соответствующая последовательность b , в которой все элементы отделены от f ( x ). Изображение предела a содержит единственную точку f ( x ), поэтому оно не содержит предела b . Напротив, эта функция является геминепрерывной снизу всюду. Например, для любой последовательности a , которая сходится к x слева или справа, f ( x ) содержит единственную точку, и существует соответствующая последовательность b , которая сходится к f ( x ).

Определения

Верхняя гемиконтинуальность

Говорят, что функция со множеством значений является хеминепрерывной сверху в точке , если для каждого открытого с существует окрестность такая , что для всех есть подмножество ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle V\subset B}$ ${\displaystyle \Gamma (a)\subset V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle V.}$

Нижняя геминепрерывность

Говорят, что функция со значениями множества хеминепрерывна снизу в точке , если для каждого открытого множества пересечения существует окрестность такая , что пересекается для всех (здесь пересекается означает непустое пересечение ). ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Gamma (a),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V\cap S\neq \varnothing }$

Непрерывность

Если функция со множеством значений является как геминепрерывной сверху, так и геминепрерывной снизу, то она называется непрерывной.

Характеристики

Верхняя гемиконтинуальность

Последовательная характеристика

Теорема  —  Для функции со множеством значений и замкнутыми значениями, если она является хеминепрерывной сверху в , то для любой последовательности из и любой последовательности такой, что ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),}$

если и тогда ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{m}=a}$ ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=b}$ ${\displaystyle b\in \Gamma (a).}$

Если компактно, то обратное также верно. ${\displaystyle B}$

В качестве примера посмотрите на изображение справа и рассмотрите последовательность a в области, которая сходится к x (либо слева, либо справа). Тогда любая последовательность b , которая удовлетворяет требованиям, сходится к некоторой точке в f ( x ).

Теорема о замкнутом графике

График функции со множеством значений — это множество, определяемое формулой График функции — это множество всех таких, что не является пустым. ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle Gr(\Gamma )=\{(a,b)\in A\times B:b\in \Gamma (a)\}.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$

Теорема  —  Если — хеминепрерывная сверху функция множества с замкнутой областью определения (то есть область определения замкнута) и замкнутыми значениями (то есть замкнута для всех ), то замкнута. ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (a)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma )}$

Если компактно, то обратное также верно. ^[1] ${\displaystyle B}$

Нижняя геминепрерывность

Последовательная характеристика

Теорема  —  является хеминепрерывной снизу в тогда и только тогда, когда для каждой последовательности из такой, что в и для всех существует подпоследовательность из , а также последовательность такая, что и для каждого ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{\bullet }\to a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b\in \Gamma (a),}$ ${\displaystyle \left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle a_{\bullet }}$ ${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle b_{\bullet }\to b}$ ${\displaystyle b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)}$ ${\displaystyle k.}$

Теорема об открытом графике

Говорят , что функция со значениями множества имеет открытые нижние секции , если множество открыто в для каждого Если все значения являются открытыми множествами в , то говорят, что функция имеет открытые верхние секции . ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(b)=\{a\in A:b\in \Gamma (a)\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b\in B.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Если имеет открытый график , то имеет открытые верхнюю и нижнюю части, а если имеет открытые нижние части, то он является полунепрерывным снизу. ^[2] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma ),}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Теорема об открытом графике  —  Если — функция с множеством значений, выпуклыми значениями и открытыми верхними секциями, то имеет открытый график в тогда и только тогда, когда является геминепрерывной снизу. ^[2] ${\displaystyle \Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Операции, сохраняющие геминепрерывность

Теоретико-множественные, алгебраические и топологические операции над функциями со значениями множества (такими как объединение, композиция, сумма, выпуклая оболочка, замыкание) обычно сохраняют тип непрерывности. Но это следует делать с соответствующей осторожностью, поскольку, например, существует пара нижних геминепрерывных функций со значениями множества, пересечение которых не является нижним геминепрерывным. Это можно исправить, усилив свойства непрерывности: если одна из этих нижних геминепрерывных мультифункций имеет открытый график, то их пересечение снова является нижним геминепрерывным.

Выбор функций

Решающее значение для анализа множеств (с точки зрения приложений) имеют исследования однозначных выборок и приближений к функциям множеств. Обычно нижние геминепрерывные функции множеств допускают однозначные выборки ( теорема выбора Майкла , теорема направленно непрерывного выбора Брессана–Коломбо, выбор разложимого отображения Фришковского). Аналогично верхние геминепрерывные отображения допускают приближения (например, теорема Анселя–Гранаса–Гурневича–Крышевского).

Другие концепции преемственности

Верхнюю и нижнюю полунепрерывность можно рассматривать как обычную непрерывность:

Теорема  —  Отображение со значениями множеств является геминепрерывным снизу [соответственно сверху] тогда и только тогда, когда отображение непрерывно там, где гиперпространство P(B) наделено нижней [соответственно верхней] топологией Виеториса . ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$ ${\displaystyle \Gamma :A\to P(B)}$

(Для понятия гиперпространства сравните также множество степеней и функциональное пространство ).

Используя нижнюю и верхнюю однородность Хаусдорфа, мы также можем определить так называемые верхние и нижние полунепрерывные отображения в смысле Хаусдорфа (также известные как метрически нижние/верхние полунепрерывные отображения ).

Смотрите также

• Дифференциальное включение
• Расстояние Хаусдорфа  – расстояние между двумя подмножествами метрического пространства
• Полунепрерывность  – свойство функций, которое слабее непрерывности.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема выбора — теорема о построении однозначной функции по многозначной функции.

Примечания

1. Предложение 1.4.8 Обена, Жан-Пьера; Франковска, Элен (1990). Многозначный анализ. Базель: Биркхойзер. ISBN 3-7643-3478-9.
2. Zhou, JX (август 1995 г.). «О существовании равновесия для абстрактных экономик». Журнал математического анализа и приложений . 193 (3): 839–858. doi : 10.1006/jmaa.1995.1271 .

Ссылки

• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения: многозначные отображения и теория жизнеспособности. Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264. Берлин: Springer. ISBN 0-387-13105-1.
• Обен, Жан-Пьер; Франковска, Элен (1990). Многозначный анализ. Базель: Биркхойзер. ISBN 3-7643-3478-9.
• Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения. Вальтер де Грютер. ISBN 3-11-013212-5.
• Мас-Колелл, Андре ; Уинстон, Майкл Д .; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономический анализ. Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 949–951. ISBN 0-19-507340-1.
• Ok, Efe A. (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями . Princeton University Press. С. 216–226. ISBN 978-0-691-11768-3.