Разделительное кольцо

В алгебре тело , также называемое телом , — это нетривиальное кольцо , в котором определено деление на ненулевые элементы. В частности, это нетривиальное кольцо ^[1] , в котором каждый ненулевой элемент $a$ имеет мультипликативный обратный , то есть элемент, обычно обозначаемый $a$ $-1$ , такой, что $a$ $a$ $-1$ $=$ $a$ $-1$ $a$ $= 1$ . Таким образом, (правое) деление можно определить как $a$ $/$ $b$ $=$ $a$ $b$ $-1$ , но этого обозначения избегают, поскольку можно иметь $a$ $b$ $-1$ $\neq$ $b$ $-1$ $a$ .

Коммутативное тело — это поле . Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что все конечные тела коммутативны и, следовательно, являются конечными полями .

Исторически тела иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями». ^[5] В некоторых языках, например во французском , слово, эквивалентное слову «поле» («корпус»), используется как для коммутативных, так и для некоммутативных падежей, а различие между этими двумя случаями проводится путем добавления квалификаторов, таких как «корпс коммутатив». (коммутативное поле) или «корпус гош» (тело).

Все разделительные кольца простые . То есть у них нет двустороннего идеала , кроме нулевого идеала и самого себя.

Связь с полями и линейной алгеброй

Все поля являются телами, и каждое тело, не являющееся полем, некоммутативно. Самый известный пример — кольцо кватернионов . Если в конструкциях кватернионов допустить только рациональные коэффициенты вместо вещественных , получится еще одно тело. В общем случае, если $R$ — кольцо и $S$ — простой модуль над $R$ , то по $лемме$ Шура кольцо эндоморфизмов S является телом; ^[6] каждое тело возникает таким образом из некоторого простого модуля.

Большая часть линейной алгебры может быть сформулирована и остается правильной для модулей над телом $D$ вместо векторных пространств над полем. При этом необходимо указать, рассматриваются ли правые или левые модули, и необходима определенная осторожность, чтобы правильно различать левый и правый модули в формулах. В частности, каждый модуль имеет базис и можно использовать метод исключения Гаусса . Итак, все, что можно определить с помощью этих инструментов, работает с алгебрами с делением. Матрицы и их произведения определяются аналогично. ^{[ нужна цитата ]} Однако матрица, обратимая слева, не обязательно должна быть обратимой справа, и если это так, то ее правая обратная может отличаться от левой обратной. (См. Обобщенное обратное § Одностороннее обратное .)

Определители не определены над некоммутативными алгебрами с делением, и все, что требует этого понятия, не может быть обобщено на некоммутативные алгебры с делением.

Работая в координатах, элементы конечномерного правого модуля могут быть представлены векторами-столбцами, которые умножаются справа на скаляры, а слева на матрицы (представляющие линейные карты); для элементов конечномерного левого модуля необходимо использовать векторы-строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа на матрицы. Двойником правого модуля является левый модуль, и наоборот. Транспонирование матрицы необходимо рассматривать как матрицу над противоположным телом $D op$ , чтобы правило $(AB) T = B T A T$ оставалось действительным.

Каждый модуль над телом свободен ; то есть у него есть база, и все базы модуля имеют одинаковое количество элементов . Линейные отображения между конечномерными модулями над телом могут быть описаны матрицами ; тот факт, что линейные карты по определению коммутируют со скалярным умножением, удобнее всего представить в обозначениях, записывая их на противоположной стороне векторов как скаляры. Алгоритм исключения Гаусса остается применимым. Ранг столбца матрицы — это размерность правого модуля, сгенерированного столбцами, а ранг строки — это размерность левого модуля, сгенерированного строками; то же доказательство, что и для случая векторного пространства, можно использовать, чтобы показать, что эти ранги одинаковы, и определить ранг матрицы.

Тела — единственные кольца , над которыми каждый модуль свободен: кольцо $R$ является телом тогда и только тогда, когда каждый $R$ -модуль свободен . ^[7]

Центр тела коммутативен и, следовательно, является полем . ^[8] Таким образом, каждое тело является телом над своим центром. Тела можно грубо классифицировать в зависимости от того, являются ли они конечномерными или бесконечномерными по своим центрам. Первые называются центрально конечными , а вторые — центрально бесконечными . Каждое поле одномерно относительно своего центра. Кольцо гамильтоновых кватернионов образует над своим центром четырехмерную алгебру, изоморфную действительным числам.

Примеры

Как отмечалось выше, все поля являются телами.
Кватернионы образуют некоммутативное тело.
Подмножество кватернионов $a + bi + cj + dk$ , таких что $a$ , $b$ , $c$ и $d$ принадлежат фиксированному подполю действительных чисел , является некоммутативным телом. Когда это подполе является полем рациональных чисел , это тело рациональных кватернионов .
Пусть – автоморфизм поля . Пусть обозначает кольцо формальных рядов Лорана с комплексными коэффициентами, в которых умножение определяется следующим образом: вместо того, чтобы просто разрешать коэффициентам коммутировать непосредственно с неопределенным , для , определите для каждого индекса . Если — нетривиальный автоморфизм комплексных чисел (такой как сопряжение ), то результирующее кольцо рядов Лорана представляет собой некоммутативное тело, известное как кольцо косых рядов Лорана ; ^[9] если $σ$ $=$ $id$ , то это стандартное умножение формальных рядов . Это понятие может быть обобщено на кольцо рядов Лорана над любым фиксированным полем при наличии нетривиального -автоморфизма . $\sigma :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ((z,\sigma))$ $z$ $\alpha \in \mathbb {C}$ $z^{i}\alpha:=\sigma ^{i}(\alpha)z^{i}$ $я\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ сигма }$ $F$ $F$ ${\ displaystyle \ сигма }$

Основные теоремы

Маленькая теорема Веддерберна : Все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечные поля . ( Эрнст Витт дал простое доказательство.)

Теорема Фробениуса : Единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над действительными числами являются сами действительные числа, комплексные числа и кватернионы .

Связанные понятия

Раньше разделительные кольца назывались «полями». Во многих языках слово, означающее «тело», используется для обозначения тел, в некоторых языках для обозначения коммутативных или некоммутативных тел, а в других специально для обозначения коммутативных тел (то, что мы теперь называем полями на английском языке). Более полное сравнение можно найти в статье о полях .

Название «тело» имеет интересную смысловую особенность: модификатор (здесь «тело») расширяет сферу применения базового термина (здесь «поле»). Таким образом, поле представляет собой особый тип тела, и не все тела являются полями.

Хотя предполагается, что тела и алгебры, обсуждаемые здесь, обладают ассоциативным умножением, неассоциативные тела алгебры , такие как октонионы , также представляют интерес.

Ближнее поле — это алгебраическая структура, подобная телу, за исключением того, что оно имеет только один из двух законов распределения .

Смотрите также

Личность Хуа

Примечания

^ В этой статье кольца имеют цифру $1$ .
^ 1948, Кольца и идеалы. Нортгемптон, Массачусетс, Математическая ассоциация Америки
^ Артин, Эмиль (1965), Серж Ланг; Джон Т. Тейт (ред.), Сборник статей , Нью-Йорк: Springer.
^ Брауэр, Рихард (1932), «Über die алгебраическая структура фон Schiefkörpern», Journal für die reine und angewandte Mathematik (166.4): 103–252
^ В пределах английского языка термины «тело» и «sfield» были упомянуты в 1948 году Нилом Маккоем ^[2] как «иногда используемые в литературе», а с 1965 года термин «телое поле» появился в OED . Немецкий термин Schiefkörper ^[de] задокументирован как предложение Ван дер Вардена в тексте Эмиля Артина 1927 года ^[3] и использовался Эмми Нётер в качестве названия лекции в 1928 году. ^[4]
^ Лам (2001), Лемма Шура , с. 33, в Google Книгах
^ Грийе, Пьер Антуан. Абстрактная алгебра. Том. 242. Springer Science & Business Media, 2007.
^ Простые коммутативные кольца — это поля. См. Лам (2001), простые коммутативные кольца , с. 39, в Google Книгах и упражнение 3.4 , стр. 45, в Google Книгах
^ Лам (2001), с. 10.

дальнейшее чтение

Кон, премьер-министр (1995). Косые поля. Теория общих тел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 57. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-43217-0. Збл 0840.16001.

Внешние ссылки

Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
Абстрактная алгебра Грилле, описание тел через их свободные модули в разделе VIII.5.